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1、（3） kA k A ；,i 1,aij Aij , A，i j,； （8） aij Aij , 线性代数复习提纲,第一章,行列式,【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用克莱姆法则,2、几个重要公式：（1） A AT ； （2） A,1 A,1,；,n,n1,（4） A * A,； （5） AB A B ； （6）,A * 0 B,A 0 * B, A B ；,（7）,n, A，i j 0，i j,n,j 1 0，i j,（其中 A, B 为 n 阶方阵， k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行
2、列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算 3-5 阶行列式的值。4、会计算简单的 n 阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。-1-,第二章,矩阵,【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。3、 n 阶矩阵 A 可逆 A 0 A 为非奇异(非退化)的矩阵。 R( A) n A 为满秩矩阵。 AX 0 只有零解 AX b 有唯一解 A 的行（列）向量组线性无关 A 的特征值全不为零。
3、A 可以经过初等变换化为单位矩阵。 A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对-2-,称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的
4、秩。,第三章,线性方程组,【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量 b ，向量组 A ：1 , 2 , n ，向量组 B ：1 , 2 , m ，则向量 b 可被向量组 A 线性表示 R(1 , 2 , n ) R(1 , 2 , n , b)2、向量组的线性相关性判别向量组1 , 2 , s 的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程 k11 k2 2 ks s 0 只有零解 向量组1 , 2 , s线性无关；（2）向量方程 k11 k2 2 ks s 0 有非零解 向量组1 , 2 , s 线性相关。方法二：求向量组的秩 R(1 , 2 , s )-3-,-4-,（
5、1）秩 R(1 , 2 , s ) 小于个数 s 向量组1 , 2 , s 线性相关,（2）秩 R(1 , 2 , s ) 等于个数 s 向量组1 , 2 , s 线性无关。,（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，,则向量组线性无关 以向量组1 , 2 , s 为列向量的矩阵的行列式非零；,向量组线性相关 以向量组1 , 2 , s 为列向量的矩阵的行列式为零。,3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）,及其求法。,4、等价向量组的定义、性质、判定。,5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。,6、齐次线性方程组 Ax 0 只有零解 系数矩阵 A 的秩
6、 未知量个数 n；7、齐次线性方程组 Ax 0 有非零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n.,8、非齐次线性方程组 Ax b 无解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩；,9、非齐次线性方程组 Ax b 有解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩,特别地，1）增广矩阵 B ( A, b) 的秩 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n ,非齐次线性方程组 Ax b 有唯一解；,2）增广矩阵 B ( A, b) 的秩 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n 非齐次,线性方程组 Ax b 有无穷多解。,【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含
7、义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，5、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。6、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。7、会求解非齐次线性方程组。,第四章,矩阵的特征值,【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程 A E 0 ；（2）特征向量的求法：
8、求方程组 A E X 0 的基础解系。1有相同的特征值)。-5-,即得二次型的标准形 f 1 y1 2 y2 n yn,1阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵 A .（2）求出 A 的所有特征值 1 , 2 , n（3）解方程组 (i E A) X 0 （ i 1,2, , n ）求对应于特征值 1 , 2 , n 的特征向量1 , 2 , , n（4）若特征向量组 1 , 2 , , n 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组1 , 2 , n ，记 P (1 , 2 , , n ) ，对二次型做正交变换 x Py ,2,2
9、2,【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法第五章 二次型1、二次型与对称阵的一一对应关系2、三种化标准型的方法3、正定二次型的定义及其判定方法-6-,-7-,常用判定二次型正定的方法：（1）定义法,（2）特征值全大于零,（3）顺序主子式全大于零,4、利用海赛矩阵求极值。,【要求】,1、掌握二次型的概念、会化二次型为标准形。,2、知道正定二次型的概念及其判定方法。,线性代数练习题,一、单项选择题,(C) a b,(A) a b,(
10、D) a b,-8-,1、行列式 40,0,2,1, 3 8 中，元素 a22 的代数余子式是 1 2,（A）,1 0 0 2,（B ）,0 2, 10,1 0 0 2,（C ） ,（D）, 1 00 2,2、二阶行列式,a a 2 b b 2,的值为,3,3,(B) ab(b a),3,3,2,2,3、设行列式 2,1,2,1 1 1,k,k,0 0 ，则 k 的取值为（,）,（A）2,（B）-2 或 3,（C）0,（D）-3 或 2,c2,c1,b2,4、若行列式 b1,a3,a2,a1,a3,a2,a1,b2,b3 =1，则 b1,c3,c2,c1,b3 =,（A）1,c3（B）2,（C
11、）0,（D） 1,5、设 a，b，c，d 为常数，则下列等式成立的是,（A）,a b c d,1 a b 2 2a c 2b d,（ B）,b 1 d 1,a 1 c 1,a b 1 c d 1,（C）,a b c d,2a 2b 2c 2d, 2,（D）,a 1 b 1 c 1 d 1,ab 1 cd 1,（A） ( AB) B A, aij Aij 0, a, aij Aij D, a,（A） ( AB) A B,n,， A i j 是 D 中元素 a i j 的代数余子式，则下列各式中,6、设 n 阶行列式 D = aij正确的是,(A),ni 1,(B),nj 1,ij,Aij 0,(
12、C),nj 1,(D),ni 1,Ai 2 D,i1,7、设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式成立的是,T T T,1, A1B1,(B) ( AB),(C) AB BA,(D) A B A B,8、设 A 为 3 阶方阵，且行列式 A 1 ，则 2 A ,(A)-8,(B)-2,(C) 2,(D)8,9、设 A , B 为 n 阶方阵且满足 AB O ，则,(A) A O 或 B O(C) A 0 或 B 0,(B)(D),A B OA B 0,10、设 A , B 为 n 阶可逆方阵，则下列各式必成立的是,T,T T,（B） AB A B-9-,则 AB , , 1 3, ,（C
13、）若 A 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A A, 1 2 1 ,B b1 , b2 , b3 ， 且 A B 0,- 10 -,（C） ( A B) 1 A1 B 1,（D） A, A A*,1,11、设矩阵 A 1 2, , 1 3 ， B 0 ，则 BA 2 , , 1 2 3 (A) 0 0 0 2 4 6 , , 1 (B) 0 6 ,(C)（1,0,6）,(D) 7, 4 2 2 ,T,12、设行矩阵 A a1 , a2 , a3 ,T,（C） 2,（D） -2,（A） 113、下列命题正确的是,（B） -1B,.,（A）若矩阵 A, B 满足 AB O ，则有 A O 或 B O（B）若矩阵 A, B 满足 AB E ，则矩阵 A, B 都可逆。,n,* *,（D）若 A O ，则 A 0,1 4,14、设 A, B 为三阶矩阵, A 2 , B ,1, 则 2( BA),=, 2 , 1, 4 , 的逆矩阵是,18、设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则分块矩阵 , 2 ,10 ,， 4 , 1 1 ,17、向量组1 ， 2 ,1 5 ,
