线性代数笔记

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1、线性代数笔记第一章 行列式1 第二章 矩阵2 第三章 向量空间3 第四章 线性方程组5 第五章 特征值与特征向量5第一章第一章 行列式行列式1.3.11.3.1 行列式的性质行列式的性质给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为 D 的转置行列式，记为或。性质性质 1 1 转置的行列式与原行列式相等。即转置的行列式与原行列式相等。即(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)性质性质 2 2 用数用数 k k 乘行列式乘行列式 D D 的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于 kDkD。推论 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数

2、，则可将公因数提到行列式之外。推论 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为 0。 可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质 3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。性质 4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个 行列式的和， 注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列 式的值不

3、变。范德蒙德行列式范德蒙德行列式 例 10 范德蒙行列式.=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1.41.4 克莱姆法则克莱姆法则定理定理 1.4.11.4.1 对于对于 n n 阶行列式阶行列式定理定理 1.4.21.4.2 如果如果 n n 个未知数，个未知数，n n 个方程的个方程的线性方程组线性方程组的系数行列式 D0,则方程组 有惟一的解: 定理定理 1.4.31.4.3 如果如果 n n 个未知数个未知数 n n 个方程的个方程的齐次方程组齐次方程组的系数行列式 D0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论推论 如果如果齐次方程组齐次方程组有非零解，则必有系数行列式有非零解

4、，则必有系数行列式 D=0D=0。第二章第二章 矩阵矩阵一、矩阵的运算一、矩阵的运算 1、矩阵的加法、矩阵的加法 设 A=（aij）mn ，B=（bij）mn ，则 A+B=（aij+bij）mn 矩阵的加法适合下列运算规则： （1）交换律：A+B=B+A （2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C） （3）A+0=0+A=A此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）mn ，0=0mn （4）矩阵 A=（aij）mn，规定-A=（-aij）mn， （称之为 A 的负矩阵） ，则有 A+（-A）=（- A）+A=02、矩阵的数乘、矩阵的数乘 设 A=（aij）mn，K 为数，则 KA

5、=（Kaij）mn 矩阵的数乘适合下列运算规则： （1）K（A+B）=KA+KB （2） （K+L）A=KA+LA （3） （KL）A=K（LA） （4）1*A=A （5）0*A=0（左端的零是指数 0，而右端的“0”表示一个与 A 行数列数相同的零矩阵。 ）3、矩阵的乘法、矩阵的乘法 设 A=（aij）mn，B=（bjk）nl，则 A*B=C=（cik）ml 其中 C=aijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换矩阵乘法不满足交换 律律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A0（零矩阵） ，B0（零矩阵） ，但 有可

6、能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BCC（A+B）=CA+CB （3）k（AB）=（kA）B=A（kB） ，此处 k 是一个数。 由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵 A 来说，A 的方幂是有意义的，即 Ak=A*AA 共 k 个 A 相乘，从而有 （1）AkAl=Ak+l （2） （Ak）l=Akl （3）InA=AIn=A 4、矩阵的转置、矩阵的转置 将矩阵 A 的行变成列，列变成行得到的矩阵称为 A 的转置矩阵，记作 AT或 A/ 注意 A 是 mn 矩阵，则 AT为 nm 矩阵 矩阵的转置适合下列运算法

7、则： （1） （AT）T=A （2） （A+B）T=AT+BT （3） （kA）T=kAT （4） （AB）T=BTAT5、方阵的逆矩阵、方阵的逆矩阵设 A，B 为同阶可逆矩阵。常数 k0。则1.可逆，且。 AA-1=A-1A=E2.AB 可逆，。3. 也可逆，且。 （A-1）k=（Ak）-14.kA 也可逆，且。（注：K 不能为 0）5.消去律 设 P 是与 A，B 同阶的可逆矩阵，若 PA=PB，则 A=B。若 a0，ab=ac 则 b=c。6.设 A 是 n 阶可逆方阵。定义 ，并定义。则有，其中 k，l 是任意整数。7.设 A 是 n 阶可逆方阵，则。2.3.12.3.1 逆矩阵的定义

8、逆矩阵的定义定义定义 2.3.12.3.1 设 A 是一个 n 阶方阵。若存在一个 n 阶方阵 B 使得。则称 A 是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。若这样的 B 不存在，则称 A 不可逆。定理定理 2.3.12.3.1 可逆矩阵 A 的逆矩阵是惟一的。定理定理 2.3.22.3.2 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是，且当时，。推论 设 A，B 均为 n 阶方阵，并且满足 AB=E，则 A,B 都可逆，且。2.4.12.4.1 分块矩阵的概念分块矩阵的概念对于行数列数较高的矩阵 A，为运算方便，经常采用分块法处理。 即可以用若干条 横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为 A 的子块，

9、以子块为元素的形式上的 矩阵称为分块矩阵。2.4.32.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算几个特殊的分快矩阵的运算（1）准对角矩阵方阵的特殊分块矩阵形如的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积则（3）准对角矩阵的逆矩阵 若均为可逆阵。可逆，且。（4）准上（下）三角矩阵的行列式。可以证明（1）用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！（2）在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，而且不必化成简化 行阶梯形矩阵定义定义 2.5.12.5.1（线性方程组的初等变换）（线性方程组的

10、初等变换）称下列三种变换为线性方程组的初等变换。（1）两个方程互换位置；（2）用一个非零的数乘某一个方程；（3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。二、矩阵初等变换的定义二、矩阵初等变换的定义定义定义 2.5.22.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；（3）将矩阵的某一行（列）乘以数 k 后加到另一行（列）上去。把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。定义定

11、义 2.5.32.5.3 如果一个矩阵 A 经过有限次的初等变换变成矩阵 B，则称 A 与 B 等价，记 为 AB。等价具有反身性 即对任意矩阵 A，有 A 与 A 等价；对称性 若 A 与 B 等价，则 B 与 A 等价传递性 若 A 与 B 等价，B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。三、矩阵的行最简形式和等价标准形三、矩阵的行最简形式和等价标准形简单地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过 初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。阶梯形矩阵的定义：满足（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的

12、列指标 j 随着行指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行）行最简形式以称满足（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是 1；（3）第一个非零元所 在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。若允许再作初等列变换可继续得这最后的式子就是 A 的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。2.5.22.5.2 初等方阵初等方阵定义 2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。以三阶方阵为例第一种：第二种：第三种: 显然，初等阵都是非奇异阵。 2.5.32.5.3 用初等变换法求逆矩阵用初等变换法求逆矩阵因为任意非奇异阵只经行初

13、等变换就可化成单位阵，即则 这表明，当对 A 作初等行变换将 A 变成单位矩阵 E 时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵 E 将变成。于是有求逆矩阵的初等变换法:写出分块矩阵作初等行变换，当A化成单位阵时，E 就化成为。 2.5.42.5.4 用初等变换法求解矩阵方程用初等变换法求解矩阵方程 一元一次方程的标准形 ax=b（a0） 矩阵方程的三种标准形AX=BXA=B（3）AXB=C 则解法：对第一类作分块矩阵对 A 作初等行变换，当 A 变成单位阵时，由于 B 做的是同样的初等行变换，则得到的是。对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由两边转置得按上例的方法求出进而求出 X二二. .

14、初等变换的性质初等变换的性质定理定理 2.5.12.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。定理定理 2.5.22.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。定理定理 2.5.32.5.3 设 A 是一个 mn 阶的矩阵，则（1） 对 A 做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的 m 阶初等矩阵 左乘 A；（2） 对 A 做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的 n 阶初等矩阵 右乘 A；推论推论 1 1 方阵经

15、初等变换其奇异性不变。定理定理 2.5.42.5.4 对于任意的 mn 阶矩阵 A，总存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使得 推论推论 2 2 n 阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。因为否则，其等价标准形不可逆。定理定理 2.5.52.5.5 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 能表示成若干个初等阵的乘积。证 充分性是显然的。下面证必要性。“”已知 A 为 n 阶可逆阵，则 A 与等价，故存在有限个 n 阶初等阵，即，亦即 A 能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。推论推论 3 3 任意可逆阵 A（非奇异阵）只经过有限次的初等行（列）变换就能化成单位阵。对 n 阶方

16、阵 A，初等变换不改变其奇异性。定义定义 2.6.12.6.1 矩阵 A 的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为 r（A），有时也记为 秩（A）。事实上，如果 A 有一个 r 阶子式不等于零，而所有 r+1 阶子式都等于零，则 r（A）第三章第三章 向量空间向量空间一、一、n n 维向量线性运算的定义和性质维向量线性运算的定义和性质; ;定义定义：设是一组 n 维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。向量线性运算的性质：向量线性运算的性质：向量的运算满足下列 8 条运算律：设 ， 都是 n 维向量， k，l 是数，则 （1）+=+；（加法交换律） （2） （+）+=+（+） ；（加法结合律）（3）+0=； （4）+（-）=0 （5）1= （6）K（+）=k+k；（数乘分配律） （7） （k+l）=k+l；（数乘分配律） （8） （kl）=k（