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1、1绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析【内容摘要】：三种模型弹力产生的机理不同，不同物理场景下力和运动情况的分析， 尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为“拐点“突变点的分析；以及临界 状态对应的临界条件。 【关键词】：临界、突变 绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在解决力和运动，尤其在曲线运动问题 中经常出现，由于较多涉及带电粒子在复合场中的运动，关于临界和突变问题成为失分较 大的考点，因此历年成为频繁出现的热点。而问题的症结是：不太清楚这三种模型弹力产 生的机理；不清晰物理过程的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上 称为“拐点“突变点的分析；以及临界
2、状态对应的临界条件，故而成为学习中的一个障碍。 结合复习实际，总结如下：一、产生的机理：一、产生的机理：、形变的分类和弹力产生的机理：、形变的分类和弹力产生的机理：物体在外力作用下的形变可分为：拉伸、压缩形 变、剪切形变、扭转和弯曲形变，但从根本上讲，形变分为：拉伸压缩和剪切形变 拉伸压缩形变的程度用线应变描述；剪切形变是指用平行截面间相对滑动的位移与截 面垂直距离之比来描述称为剪切形变；弯曲形变：以中性层为界，越近上缘发生压缩形变 的程度增加，靠近下沿拉伸越甚，即上下边沿贡献最大，中性层无贡献，实际应用中典型 的就是钢筋混凝土梁，下部钢筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗压能力，工业中的 工
3、字钢空心钢管等构件既安全又节省材料；扭转形变实质上是由剪切形变组成，内外层 剪切应变不同，因此应力也不同。靠外层应力较大，抵抗扭转形变的作用主要由外层承担， 靠近中心轴线的材料几乎不大起作用，工业中的空心柱体就是典型的应用。 、区别：、区别： 细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖于 细绳受到的外力和自身的运动状态。由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状态将 发生突变，将此点称为“拐点” ；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的弹力， 弹力的产生是由于外力作用下而引起的形变，形变不发生变化，弹力不变；轻杆：拉伸、 压缩、剪切形变、弯曲、扭转形变均能发
4、生，既能产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿 截面方向上的弹力，取决于外力作用的情况。以上模型均不计自身的重力而引起的形变。二、问题归类解析二、问题归类解析（一）：平衡态发生在瞬时突变时的问题（一）：平衡态发生在瞬时突变时的问题 1 1：弹簧与细绳模型：弹簧与细绳模型 如图 1 所示，一条轻弹簧和一根细绳共同拉住一个质量为的小球，平衡时细线是水m 平的，弹簧与竖直方向的夹角是，若突然剪断细线瞬间，弹簧拉力大小是多少？将弹簧 改为细绳，剪断的瞬间上张力如何变化？BO 解析：绳未断时处于平衡态，即mgtgTmgTmgTTTABBAB解得 coscossin剪断的瞬间，瞬时消失，但弹簧上的形变没有改变
5、，所以OAAT弹力不变，则和的合力与相平衡 ，即： BTBTmgATAATmgT22)(2换为细绳，张力随外界条件的变化发生瞬时突变，如图 2 所示，OB则沿绳方向瞬态平衡；重力的分力使物体向最低OBcos1mgFTB2F位置运动，即： 从而使物体沿圆周运动，遵循机22sinmamgF械能守恒定律： cosmgTB：细绳和杆的平衡类问题：细绳和杆的平衡类问题： 例 2：如图 3 所示：一块长木板长为，距端处由一个固定的轴m12NG200Am3 ， o（1）：若另一端用轻绳拉住，使木板呈水平状态，绳和木板的夹角，轻绳能承B030受的最大拉力，如果一个重为的人在该木板上行走，求活动范围为多少？N2
6、00NW600（2）：若其它条件都不变，端用轻杆拉住，且轻杆承受的最大拉力也为，求BN200 人的活动范围是多少？ 解析：从向行走，人对地板的压力和板自身的重力产生的力矩OB 与绳拉力产生的力矩相平衡，设人距端为，Ax代入数据解得：030sin)2(OBTWOAABGMXmx5 . 0向运动，在之间，临界状态是绳中张力为零，即：AOAmxOAABGWx1)2(22 解得：人的活动范围点右侧，左侧Om5 . 0m1 换成细杆，人向点运动和绳相同，向左侧运动有别与绳模型，因为杆可提供斜向下B 的压力，从而使人的活动范围增加：mxOBTOAABGWmx5 . 230sin)2(30 3 解得：人的活
7、动范围点右侧, 左侧Om5 . 0m5 . 2 （二）绳、杆模型在曲线运动中的应用（二）绳、杆模型在曲线运动中的应用 受思维定势的影响，解决力和运动问题时，往往是已知受力情况解决运动状态，但杆 模型的自身的特点，决定由运动状态判断物体的受力情况，从而判断出弹力的方向。例 3：如图 4 所示，杆和相结于处，夹角为，竖直放置，杆的ABACA030ABAC端连接一个质量为的小球，点到球心的距离，现以CKg1AmL8 . 0为轴匀速转动，求：杆受到的弹力？ABsrad5AC解析：球以为圆心，为半径做匀速圆周运动（弹力 TCOsinLr 是否沿杆取决于运动状态） NrmFFn102合竖直方向上弹力的分力
8、与相平衡，则： 转化为已TmgN210)(22合FmgT知合力和一分力求另一分力的问题， 与竖直方向的夹角，张力不再沿轻nmamgT43杆。 引申：1：求为何值时，弹力沿此杆？2：换用细绳，夹角为时为多大？045此问题的关键是：转动半径由杆长和杆与轴之间的夹角确定，弹力随运动状态而发生 变化，绳模型的运动平面和半径及其与轴之间的夹角由运动状态而决定。 原型启发是：如图 5 所示，小车上固定一个弯成角的轻杆，杆的另 一端固定一个质量为的小球，试分析下列状态下杆上的弹力？m (1)、小车静止或向右匀速直线运动？ (2)、小车以加速度水平向右运动？a解析：球处与平衡态，则：；弹力与竖直方向的夹角为，
9、mgT 则：gamgFtgagmmamgTmaF合 合； ；2222)()(即弹力随加速度的变化而发生改变。 、绳模型在匀速圆周运动中的应用：、绳模型在匀速圆周运动中的应用： 根据实际物理场景，分为约束与非约束两类问题： 思路：根据运动状态确定受力情况； 技巧：首先三个确定（确定轨道平面、圆心、圆周半径） ，其次分析向心力的来源； 解决问题的关键：确定临界状态，分析临界条件，以此作为分界点加以讨论，并研究 已知状态所处的运动范围，从而分析受力情况。典型的问题就是圆锥摆，即：受到约束， 受到 3 个力：；0vv ;TmgN、处于临界状态，受到 2 个力：0vv mgT、飘离圆锥体，受到：，在新的
10、运动状态下与轴向的夹角发生改变0vv mgT、例 5、长为的绳子，下端连接质量为的小球，上端悬于天花Lm板上，当把绳子拉直时，绳子与轴向的夹角成，此时小球静060止于光滑的水平桌面上，当小球以下列情况下做圆锥摆运动时，求绳 子上的弹力和对桌面的压力？TN（1）： 做圆锥摆运动;（2）：做圆锥摆运动；lglg4解析：初始处于平衡状态，地面对物体竖直向上的作用力；当球以为圆心，mgN 1o以为半径在光滑地板上做圆周运动时，受作用，设角速度为时地sinLr NTmg、0面对球的弹力，则：0NlgrmTmgT2sincos02 0 解得：4(1)受力如图所示 解得04lg rmFTmgNTn2sinc
11、osmgTmgN ；43（2）：球将飘离桌面做匀速圆周运动，设与轴线的夹角为，受力04lg如图所示： （区别于杆模型是半径不变）解得：mgTrmFTmgTn4sincos2引申练习：1、长为的轻绳，两端分别固定于一根竖直棒上，相l 2 距为 的两点，一个质量为的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒lABm 以一定的角速度转动时，圆环以为圆心在水平面内做匀速圆周运动，B 求此绳上的弹力？ （解析：设半径为 ，r， 则： 解得：02223743)2(lrlrrl解得：） （） （2sin1cos2rmTTFmgTnlgmgT38 45 ；此题的关键是圆环与绳光滑相套连接，随运动状态的不同，而使运动的平面
12、、圆心、 半径而发生变化，如图所示的场景是特定条件下的临界情况。 2、两绳系一个的小球，两绳另两端分别固定于轴上两处，上面绳长kgm1 . 0AB，两绳都拉直时与轴之间的夹角分别是问球的角速度在ml2,45,3000什么范围内两绳始终张紧？当角速度为时，上下两绳的拉力分srad3别为多少？ （解析：半径不变时，临界条件是刚好拉直，张力为零，BC 上的张力的分力提供向心力，最小；刚好拉直，张力为零，ACAC 上的张力的分力提供向心力，最大。 ）BC 、绳、杆模型在非匀速圆周运动中的应用：、绳、杆模型在非匀速圆周运动中的应用：运动学特征： 的大小随位置而发生改变，包括两部分，合不再指向圆心；vaa
13、an和合a动力学特征：包括两部分：，合外力不再指向圆心，弹力不做功，整个过合FFn和F程遵循机械能守恒定律；依据运动情况分为临界极值和突变两类问题： （）（） 、临界极值问题：、临界极值问题： 物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理仅研究通过最高点和最低点的两类情况。A、没有物体支撑的圆周运动，有绳模型和沿光滑内轨道运动的两类场景：本质上都 是自身的重力和指向圆心的弹力之和提供向心力，如图 9 所示：临界条件： 解得：称为维持圆周运动的临界速度；RmvmgFn2 0Rgv 05讨论：，绳和光滑轨道内侧提供指向圆心，沿径向里的弹RmvmgTFvvn20 力；RmvmgFvvn2 0 0 弹力为
14、零 无法到达最高处，未到之前就开始做斜上抛运动。0vv B、有物体支撑的非匀速圆周运动：典型问题是：杆和沿光滑弯管内部运动的模型： 如图 10 所示：由于硬杆和弯管内壁的支撑，最高处的临界速度可以为，处于亚稳0 平衡，受到空气的扰动，便会偏离平衡位置，由于机械能守恒，仍能做完整的圆周运动，球在的条件下仍能到达最高点的原因是发生了扭转形变，弹性势能向球的动能转化，0vv 讨论：NmgFvn00； mgNRmvNmgFvvn0020； ；0F2 0 0NRmvmgvvn沿径向向里，挤压外壁或拉伸细杆。RmvTmgFvvn20 T例 6、把一内壁光滑的细钢管弯成圆弧形状，竖直放置，一个小球从管口的正
15、上43方处自由下落，小球恰好到达弯管的管口 处；若小球从处自由下落，则它能从管口1hc2h的运动到，又飞回管口，求：ACA 21hh解析：在整个过程中机械能守恒，取过管口和圆心的平面为AO 零势能面，由于小球恰能到达处，速度刚好为，C0，小球从到过程中，做平抛运动，RhmgRmgh11则：CA2:20gtRytvRsx ；机械能守恒5:4:21212 2hhmgRmvmghc解得：例 7、如图 12 所示，水平光滑绝缘轨道与半径为的光滑绝缘轨道平滑连ABRBCD 接，匀强电场的场强为，方向水平向左，一个质量为的带电滑块所受的电场力等与重Em 力，在点由静止释放，它能沿圆轨道运动到与圆心等高的A 点，D6求至少多长方能满足条件？AB 分析：原型启发：绳模型； 关键：等效重力场中的最高点； 隐含条件；最短，意味着带点体到达等效最高点时，对轨道的压力恰好为，向ABo 心力由等效重力来提供。解：在轨道圆心处做与的合力，对角线的反向延长线与轨道相交于处，则mgqEP点为等效重力场的最高点，由题意分析可得： P) 1 ()()(2 22 RmvqEmgFp nqEmg (2) 由动能定理可得：222mgmvp)4(02)sin1 (sin2p ABmvmgRqERqEs联立解
