一元二次方程应用题归纳分类及经典例题

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1、 1 一元二次方程应用题总结分类及经典例题一元二次方程应用题总结分类及经典例题 1、列一元二次方程解应用题的特点 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲， 列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次， 因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未 知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题 中涉及积的一些问题，经营决策问题等等 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样，列一元二

2、次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答” ( 1)“ 审” 指 读 懂 题 目、 审 清 题 意， 明 确 已 知 和 未 知， 以 及 它 们 之 间 的 数 量 关 系 2 这 一 步 是 解 决 问 题 的 基 础； ( 2)“ 设” 是 指 设 元， 设 元 分 直 接 设 元 和 间 接 设 元， 所 谓 直 接 设 元 就 是 问 什 3 么 设 什 么， 间 接 设 元 虽 然 所 设 未 知 数 不 是 我 们 所 要 求 的， 但 由 于 对 列 方 程 有 利， 因 此 间 接 设 元 也 十 分 重 4 要 恰 当 灵 活 设 元 直 接 影 响 着 列 方

3、程 与 解 方 程 的 难 易； ( 3)“ 列” 是 列 方 程， 这 是 非 常 重 要 的 步 骤， 列 方 5 程 就 是 找 出 题 目 中 的 等 量 关 系， 再 根 据 这 个 相 等 关 系 列 出 含 有 未 知 数 的 等 式， 即 方 程 找 出 相 等 关 系 6 列 方 程 是 解 决 问 题 的 关 键； (4)“解”就是求出所列方程的解； ( 5)“ 答” 就 是 书 写 答 案， 应 注 意 的 是 一 元 二 次 方 程 的 解， 有 可 能 不 符 合 7 题 意， 如 线 段 的 长 度 不 能 为 负 数， 降 低 率 不 能 大 于 1 0 0%等

4、等 因 此， 解 出 方 程 的 根 后， 一 定 要 进 行 检 验 8 3、数与数字的关系 两位数=(十位数字)10个位数字 三位数=(百位数字)100(十位数字)10个位数字 4、翻一番 翻一番即表示为原量的 2 倍，翻两番即表示为原量的 4 倍 5、增长率问题 (1)增长率问题的有关公式： 增长数=基数增长率 实际数=基数增长数 (2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为： 原来的(1增长率)增长期数=后来的 说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形； (2)如果是下降率，则上述关系式为： 原来的(1增长率)下降期数=后来的 6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问

5、题的一般步骤 (1)整体地、系统地审读题意； (2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)； (3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案 7、列方程解应用题的关键 ( 1)审 题 是 设 未 知 数、 列 方 程 的 基 础， 所 谓 审 题， 就 是 要 善 于 理 解 9 题 意， 弄 清 题 中 的 已 知 量 和 未 知 数， 分 清 它 们 之 间 的 数 量 关 系， 寻 求 隐 含 的 相 等 关 系； ( 2)设 未 知 数 分 直 10 接 设 未 知 数 和 间 接 设 未 知 数， 这 就 需 根 据 题 目 中 的

6、数 量 关 系 正 确 选 择 设 未 知 数 的 方 法 和 正 确 地 设 出 11 未 知 数 8、列方程解应用题应注意： (1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系； ( 2)由 于 一 元 二 次 方 程 通 常 有 两 个 根， 为 此 要 根 据 题 意 对 两 根 加 以 检 验 即 判 断 或 确 12 定 方 程 的 根 与 实 际 背 景 和 题 意 是 否 相 符， 并 将 不 符 合 题 意 和 实 际 意 义 的 （一）传播问题（一）传播问题 1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒 2

7、00 元下调至 128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。 3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总 数是 91，每个支干长出小分支。 13 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛 45 场比赛，共有个队参加比赛。 5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛 90 场比赛，共有个队参加比赛。 6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182 件，这个小 组共有多少名同学？ 7.一个小

8、组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，这个小组共有多少人？ 8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用 学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后， 被感染的电脑会不会超过 700 台？ （二）平均增长率问题（二）平均增长率问题 变化前数量变化前数量（1 1x x）n n变化后数量变化后数量 1.青山村种的水稻 2001 年平均每公顷产 7200 公斤，2003 年平均每公顷产 8450 公斤，水稻每公顷产量 的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 90

9、元降到了 40 元，求平均每次降价率是。 3.周嘉忠同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行” ，到期后将本金和利息取出，并 将其中的 500 元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一 次存款时年利率的 60%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（利息税 为 20%，只需要列式子） 。 4.某种商品，原价 50 元，受金融危机影响，1 月份降价 10，从 2 月份开始涨价，3 月份的售价为 64.8 元，求 2、3 月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相

10、同，求每次降价的百分率？ 14 6.为了绿化校园，某中学在 2007 年植树 400 棵，计划到 2009 年底使这三年的植树总数达到 1324 棵， 求该校植树平均每年增长的百分数。 7.王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行” ，到期后将本金和利息取出，并 将其中的 500 元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一 次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不 计利息税） （三）商品销售问题（三）商品销售问题 售价售价进价进价= =利润利润 单件利润单件利润销售量销售量

11、= =总利润总利润 单价单价销售量销售量= =销售额销售额 1.某商店购进一种商品，进价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每件的销售价 X(元)满 足关系：P=100-2X 销售量 P，若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利润，那么每件商品的售价应 定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为只，且每日产出的产品全部售出，已知生产 只熊猫的成本为（元） ，售价每只为（元） ，且、与 x 的关系式分别为 R=500+30X，P=170 2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为 1750 元？ (2)若可获得的最大利润为 1

12、950 元，问日产量应为多少？ 3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商品要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元。为了迎接“六一”儿童节， 商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装 每降价元，那么平均每天就可多售出件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每 件童装应降价多少元？ 15 5.

13、西瓜经营户以元千克的价格购进一批小型西瓜，以元千克的价格出售，每天可售出千 克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多 售出 40 千克。另外，每天的房租等固定成本共元。该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克 小型西瓜的售价降低多少元？ 6.益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖 出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货 多少件？每件商品应定价多少？ 7.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源

14、，待货物 售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理） 。当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每 吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑 材料共需支付厂家及其它费用 100 元。 （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售 量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润 为 9000 元。 （3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。 ”你认为对吗？请说明 理由。 8.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收

15、附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每 条的市场价格为 70 元,不加收附加税时, 每年产销 100 万条,若国家征收附加税,每销售 100 元征税 x 元(叫做税率 x%), 则每年的产销量将减少 10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为 168 万元, 并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过 50 万条,问税率应确定为多少? 9.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准.某单位组织员工去 天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾 风景区旅游？ 如果人数超过 25 人，每增加 1 人，人均

16、旅游费用降低 20 元， 但人均旅游费用不得低 700 元. 如果人数不超过 25 人，人均 旅游费用为 1000元. 16 （四）面积问题（四）面积问题 判断清楚要设什么是关键判断清楚要设什么是关键 1.一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积是 24cm2，两条直角边的长分别是。 2.一个直角三角形的两条直角边相差 5，面积是 72，斜边的长是。 3.一个菱形两条对角线长的和是 10，面积是 122，菱形的周长是。 （结果保留小数点后一位） 4.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多 14 米，面积是 3200 平方米则操场的长为 米，宽为米。 5.若把一个正方形的一边增加 2cm，另一边增加 1cm，得到的矩形面积的 2 倍比正方形的面积多 11cm2， 则原正方形的边长为 cm. 6.如图，在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，