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1、1一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 一知识要点一知识要点二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的02cbxaxcbxaxy2x横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研02cbxaxcbxaxy2究若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与),(02cbxaxcbxaxy2轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判xcbxaxy2断出的符号，从而判断出实根的情况2121,xxxx 若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确),(nm02cbxax 定 1二次方程有且只有一个实根属于二次方程有且只有一个实根属于的充要条件的充要条件),
2、(nm 若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根nm,若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种nm,02cbxaxcbxaxxf2)( 可能：（1） （2）21, 0xnxmanxmxa21, 0（3） （4）21, 0xnxmanxmxa21, 0由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即)(xfmx )(mfnx )(nf ；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之0)()(nfmf0)()(nfmf)(xf 一所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且nm,)0(02acbxaxcbxaxxf2)(0)(xf只有一个实根属于的充要条件是),(nm0)()(nfmf
3、xyOmn 1x2xxyOm n1x2xxyOm n1x2xxyOmn1x2x22二次方程两个根都属于二次方程两个根都属于的充要条件的充要条件),(nm方程的两个实根都属于，则二次函数的)0(02acbcax),(nmcbxaxxf2)( 图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有xmn 以下几种情形：（1） （2）nxxma21, 0nxxma21, 0（3） （4）nxxma21, 0nxxma21, 0由此可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是：)0(02acbxax),(nmnabmnafmafacb20)(0)(042这里 cbxaxxf2
4、)( 同理可得出： 3二次方程二次方程的两个实根分别在区间的两个实根分别在区间的两侧（一根小于的两侧（一根小于，另一根大，另一根大02cbxax),(nmm 于于）的充要条件是：）的充要条件是：n 0)(0)( nafmaf这里这里cbxaxxf2)(4二次方程二次方程的两个实根都在的两个实根都在的右侧的充要条件是：的右侧的充要条件是：02cbxax),(nmxyOmn1x2xxyOmn21xx xyOmn1x2xxyOmn21xx 3nabnafacb20)(042二次方程二次方程的两个实根都在的两个实根都在的左侧（两根都小于的左侧（两根都小于）的充要条件是：）的充要条件是：02cbxax)
5、,(nmmmabmafacb20)(042这里这里cbxaxxf2)( 二例题选讲二例题选讲例设关于的方程R） ，xbbxx(0241（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。例已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 ff(x)=x 也无实根例设，若，求实数的取值范围 2,4)A 240Bx xaxBAa4变式：已知方程 x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于 1， 求 m 的取值范围例已知方程有两个负根，求的取值
6、范围)(0)32() 1(242Rmmxmxm例求实数的范围，使关于的方程mx062) 1(22mxmx （）有两个实根，且一个比大，一个比小 （）有两个实根，且满足,410 （）至少有一个正根5例 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围.变式：已知方程 2x2 2(2a-1)x + a+2=0 的两个根在-3 与 3 之间，求 a 的取值范围例已知二次方程的两个根都小于 1，求的取值范围02) 12(2mxmmxm6变式：如果二
7、次函数 y=mx2+(m3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的取值范围.例已知是实数，函数，如果函数在区间上有零a2( )223f xaxxa ( )yf x11 ，点，求的取值范围a二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下 也可以适当运用下面再举两个例子：例求函数 y = (10,求证头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 mr mq mp12(1) pf()0 (1)当 m0 时，二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧，符合题意.
8、(2）当 m0 时，则解得 0m1 030mm综上所述，m 的取值范围是m|m1 且 m0. 例解析 1：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0 在-1，1( )yf x2( )223f xaxxa 上有解，a=0 时，不符合题意，所以 a0,方程 f(x)=0 在-1，1上有解或( 1)(1)0ff13或或或 a1.( 1)0 (1)0 48 (3)0 1 1.1af af aaa 15a37 2a 5a 37 2a 所以实数 a 的取值范围是或 a1.37 2a 解析 2：a=0 时，不符合题意，所以 a0,又 =0 在-1，1上有解，在-1，1上有解2( )223f xaxxa 2(21
9、)32xax在-1，1上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设 t=3-2x，x-2121 32x ax221 32xyx1，1，则，t1,5,，23xt21 (3)217(6)22tyttt设，时，此函数 g(t)单调递减，时，2277( ). ( )tg ttg ttt 1, 7)t( )0g t ( 7,5t0,此函数 g(t)单调递增，y 的取值范围是，=0 在-1，1( )g t 73,12( )223f xaxxa 上有解或。1 a 73,11a37 2a 例解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1,yx2-(3y+1)x+2y-1=0, 由题意，关于的方程在(1,2)上
10、有实根x 易知 y 0)2故 m 的取值范围为 (-, 0)(0, 3-2.2巩固练习巩固练习1解：易知 x1 = -1 是方程的一个根，则另一根为 x2 = ，所以原方程有且仅有一个实m - 43m - 1根属于( -1, 1)当且仅当 -1 ， m 的取值范围为 (-m - 43m - 13254,- )( , +).32542解：令，当时，xt2) 1,(x)2, 0(t由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则 在上有两个对应的xt2x) 1,(t)2, 0(值因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为0) 12(2mtmmt14)4(22120)3(0)29()2(0) 1
11、(04) 12(222mmmmmmm由（1）得： ，41m由（2）得： ，0m由（3）得： 或，0m92m由（4）得： 21 61 m，即的取值范围为41 92mm)41,92(3解：设 f(x) = ，由于 f(x)是二次函数，所以 2m+1 0，即 m ) 1(2) 12(2mmxxm - .12f(x) =0 在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当 f(1)f(2)0, 所以，pf()01mm(2)由题意，得 f(0)=r, f(1)=p+q+r，当 p0 时，由(1）知 f()0，1mm若 r0,则 f(0)0,又 f()0,所以 f(x)=0 在(0，)内有解;1mm 1mm若 r0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)()+r=0,mr mp2mr mp2又 f()0,所以 f(x)=0 在(,1)内有解头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1mm 1mm当 p0 时同理可证头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头故方程 f(x)=0 在(0，1)内恒有解
