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1、1,第9章 时域离散系统的Z域分析,9.1 利用z变换分析系统的频域特性9.2 几种特殊的时域离散系统9.3 小结,2,引言,在第4章已经详细介绍了序列的z变换和傅里叶变换，本章应用序列z变换和傅里叶变换来分析系统的频域特性，包括用z变换解差分方程、系统函数与频率响应的关系、利用系统函数的零极点判断系统的因果性和稳定性、通过系统函数零极点的几何位置分析系统的频率特性等，并运用这些知识详细地分析了全通滤波器、梳状滤波器、最小相位系统等。利用z变换来分析系统的性质是数字信号处理的重要内容之一。,3,9.1 利用Z变换分析系统的频域特性,9.1.1 利用z变换解差分方程 9.1.2 频率响应与系统函
2、数 9.1.3 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,4,9.1.1 利用z变换解差分方程,设N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为,(9.1-1),设 是因果序列，即 ， ，已知初始条件， ， 。对(9.1-1)式进行z变 换，注意这里要用单边z变换。,5,9.1.1 利用z变换解差分方程,设,(9.1-2),6,9.1.1 利用z变换解差分方程,按照(9.1-2)式对(9.1-1)式进行单边z变换，有,(9.1-3),7,9.1.1 利用z变换解差分方程,上式右边第一部分与系统初始状态无关，称为零状态解，第二部分与输入信号无关，
3、称为零输入解。求零状态解时可用双边z变换，也可用单边z变换。求零输入解时须考虑初始条件，必须用单边z变换求解。,8,9.1.1 利用z变换解差分方程,解：对方程两边取z变换,9,9.1.1 利用z变换解差分方程,上式第一部分是零状态响应 ，第二部分是零输入响应 ，全响应 。,10,9.1.2 频率响应与系统函数,1. 系统的频率响应,2. 系统的系统函数,3. 系统函数与频率响应的关系：,11,因果系统的单位响应 一定满足当 时， =0，那么其系统函数 的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域是圆外区域。 2. 系统稳定要求 ，对照z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位
4、圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为：,9.1.3 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,12,9.1.3 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,例9-2 已知 ，分析其因果性和稳定性。,解：,的极点为 ， 。,(1) 收敛域,，对应的系统是因果系统，但,，对应的系统是非因果且,(2) 收敛域,由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。,不稳定系统。 (3) 收敛域 ，对应的系统是一个非因果系统，由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其,13,9.1.3 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,单位响应 ，这是一个收敛的双边序列，如图9-
5、1(a)所示。,（a）,14,9.1.3 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,(b),图9-1 例9-2图示,15,将式(9.1-5)因式分解，得到,9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,(9.1-8),将式(9.1-8)分子、分母同乘以 ，得到,(9.1-9),16,设 ，由式(9.1-10)得到,9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,设系统稳定，将 代入上式，得到频率响应,(9.1-10),(9.1-11),17,9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,零点矢量和极点矢量用极坐标表示,代入式(9.1-11)得,18,系统或者信号的频率特性
6、由式(9.1-12)和式(9.1-13)确定。当频率 从零变化到 时，这些矢量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照式(9.1-12)和式(9.1-13)，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。,9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,(9.1-12),(9.1-13),19,9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点矢量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近时，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，且零点愈靠近单位
7、圆，谷值愈接近零。当零点在单位圆上时，谷值为零。综上所述，极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状。,20,9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,例9-4 设一阶系统的差分方程为用几何法分析其幅度特性。 解：由系统差分方程得到系统函数为：式中 ，系统极点 ，零点 ，当B点从 逆时针旋转时，在 点，由于极点矢量长度最短，形成波峰。在 时形成波谷。 处的零点不影响频响。零极点分布及幅度特性如图9-4所示。,21,9.1.4 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,图9-4例9-4的零极点及幅度特性,22,9.2 几种特殊的时域离散系统,9.2.1
8、 全通滤波器 9.2.2 梳状滤波器 9.2.3 最小相位延时系统,23,1. 定义：滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，即 2. 全通滤波器的频率响应可表示成,9.2.1 全通滤波器,表明信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱 随改变，起纯相位滤波作用。,3. 全通滤波器的系统函数一般表达式如下：,24,全通滤波器系统函数 的构成特点是其分子、分母多项式的系数相同，但排列顺序相反。可以表示为：,或者写成二阶滤波器级联形式：,9.2.1 全通滤波器,25,9.2.1 全通滤波器,全通滤波器零极点的分布规律 ：极点和零点互为共轭倒易关系。因此，全通滤波器的系统函数也可以写成如下形式
9、：,全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。如果要求设计一个线性相位滤波器，可以设计一个具有线性相位的FIR滤波器（第11章），也可以先设计一个满足幅频特性要求的IIR滤波器（第10章），再级联一个全通滤波器进行相位校正，使总的相位特性是线性的。,26,当N=8时，零点为 ；极点为 ； 的零极点分布和幅频响应特性曲线如图9-6所示。,9.2.2 梳状滤波器,梳状滤波器的系统函数为：,。,27,9.2.2 梳状滤波器,图9-6 梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性（N=8）,28,9.2.3 最小相位延时系统,稳定系统的频响函数,=(各零点矢量相角和)(各极点矢量相角和),只有单位圆内的
10、零极点对 有影响。,29,若用 ， 分别表示单位圆内与单位圆外的零点数，则 ，用 ， 分别表示单位圆内与单位圆外的极点数，则 。下面具体讨论零极点分布对系统相角的影响。 （1）一个因果稳定的时域离散线性时不变系统，其所有极点必须在单位圆内， 则,9.2.3 最小相位延时系统,30,9.2.3 最小相位延时系统,当全部零点在单位圆内时，即 ， ，则,这时相角变化最小，把这种系统称为最小相位延时系统，即一个线性时不变系统，如果零极点全部都在单位圆内，那么该系统是最小相位的。,当全部零点在单位圆外时，即 ， ，则,这时相角变化最大，把这种系统称为最大相位延时系统。,31,9.2.3 最小相位延时系统
11、,（2）对逆因果稳定系统，其所有极点必须在单位圆外，,当全部零点在单位圆内时，即 ， ，则,这时相角变化最大，把这种系统称为最大相位超前系统。,当全部零点在单位圆外时，即 ， ，则,这时相角超前量最小，把这种系统称为最小相位超前系统。,32,9.2.3 最小相位延时系统,最小相位延时系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位延时系统的几个重要特点。,33,9.2.3 最小相位延时系统,(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延时(负的相位值)最小。同一个系统函数，利用共轭倒易关系可以将零点在单位圆内外进行相互转移，得到若干幅频特性相同的滤波器，但其中全部零点均在单位
12、圆内的是最小相位系统。 （3）最小相位延时系统保证其逆系统因果稳定。,34,9.3 小结,本章重点介绍了利用z变换来分析时域离散系统。 1、利用z变换解差分方程，z变换能将差分方程变换成线性方程，通过解线性方程得到全响应的z变换解，然后通过逆z变换得到全响应的时域解，并且能将零状态响应和零输入响应分开研究。 2、系统函数与频率响应之间的关系为： ，可以从系统的零极点分布判断系统的因果性和稳定性，系统函数零极点的位置还能决定系统的幅频特性和相频特性，其中极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状。,35,9.3 小结,3、用z变换分析了几个典型的系统全通滤波器、梳状滤波器和最小相位系统。全通滤波器、梳状滤波器和最小相位系统都是数字信号处理中常用的系统，全通滤波器的零极点成共轭倒易关系，是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡；梳状滤波器的零点等间隔地分布在单位圆上，极点等间隔地分布在半径为 的圆上，可用于消除电网谐波干扰，在彩色电视接收机中用于进行亮色分离和色分离。最小相位延时系统的零极点全部在单位圆内，延时最小，并且其逆系统也是因果稳定的，在解卷积和信号预测等数字信号处理中有重要的作用。,
