《《概率论与数理统计》习题及答案__第一章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计》习题及答案__第一章（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1概率论与数理统计习题及答案第 一 章1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. 出现奇数点 ；A （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. 两次点数之和为 10 ，A 第一次的点数，比第二次的点数大 2 ；B （3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1,2,3,4,5；从中同时取出 3 只球，观察其结果，球的最小号码为 1 ；A （4）将两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情, a b况，甲盒中至少有一球 ；A （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，通过汽车不足 5 台 ，A 通过的汽车不少于 3 台 。B 解 （
2、1）其中出现 点，123456 ,Se e e e e eie i1,2,6i 。135 ,Ae e e（2）(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)S (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)；(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)；(
3、4,6), (5,5), (6,4)A 。(3,1), (4,2), (5,3), (6,4)B （3）(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,3,4), (1,4,5), (1,2,4), (1,2,5)S (2,3,5), (2,4,5), (1,3,5)(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5)A （4）(, , ), ( , ), ( , ,), ( , , ), ( , , ), ( , , ),Sabababa babb a ，其中表示空盒；( , , ), ( , , ,), ( , , )baa
4、bb a。(, , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )Aaba babb aba （5）。0,1,2,0,1,2,3,4,3,4,SAB2设是随机试验的三个事件，试用表示下列事件：, ,A B CE, ,A B C2（1）仅发生；A（2）中至少有两个发生；, ,A B C（3）中不多于两个发生；, ,A B C（4）中恰有两个发生；, ,A B C（5）中至多有一个发生。, ,A B C解 （1）ABC（2）或；ABACBCABCABCABCABC（3）或；ABCABCABCABCABCABCABCABC（4）；ABCABCABC（5）或；ABACBCA
5、BCABCABCABC3一个工人生产了三件产品，以表示第 件产品是正品，试(1,2,3)iA i i用表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；iA（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解 （1）；（2）；（3）123A A A123AAA；（4）。123123123A A AA A AA A A121323A AA AA A4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解 设任取一电话号码后四个数字全不相同 ，则A 4 10 4126( )0.50410250PP A 5一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只
6、，求（1）5 只全是好的的概率；（2）5 只中有两只坏的的概率。解 （1）设5 只全是好的 ，则A ；5 37 5 40( )0.662CP ACA（2）设5 只中有两只坏的 ，则B .23 337 5 40( )0.0354C CP BCA6袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，求（1）3 个球的最小号码为 5 的概率；（2）3 个球的最大号码为 5 的概率.解 （1）设最小号码为 5 ，则A 3；2 5 3 101( )12CP AC（2）设最大号码为 5 ，则B .2 4 3 101( )20CP BC7 （1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；r
7、（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设他们的生日都不相同 ，则A ；365( )365rrPP A （2）设至少有两个人的生日在同一个月 ，则B ；21222321 4121141241212 441( )1296C C PC CC PCP B或.4 12 441( )1( )11296PP BP B 8设一个人的生日在星期几是等可能的，求 6 个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解 设生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天 ，则A . ？为什么？为什么26 7 6(22)( )0.011077CP A9将等 7 个字母随机地排成一行
8、，那么恰好排成英文, ,C C E E I N S单词 SCIENCE 的概率是多少？解1 设恰好排成 SCIENCEA 将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母在 7 个位置中占两个位置，共有种占法，字母在余下的 5 个C2 7CE位置中占两个位置，共有种占法，字母剩下的 3 个位置上全排列的2 5C,I N C方法共 3！种，故基本事件总数为，而中的基本事件只有22 753! 1260CCA一个，故；22 7511( )3!1260P ACC解2 七个字母中有两个，两个，把七个字母排成一排，称为不尽相EC异元素的全排列。一般地，设有个元素，其中第一种元素有个，第二种元
9、n1n4素有个，第种元素有个，将这个元素排成一2nkkn12()knnnnn排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为，12! !kn n nn对于本题有.141( )7!7!1260 2!2!P A 10从等个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事0,1,2,910件的概率：三个数字中不含 0 和 5 ，三个数字中不含 0 或 5 ，1A 2A 三个数字中含 0 但不含 5.3A 解 .3 8 13 107()15CP AC，333 998 2333 10101014()15CCCP ACCC或，1 8 223 1014()1()115CP AP AC .2 8 33 107()30C
10、P AC11将双大小各不相同的鞋子随机地分成堆，每堆两只，求事件nn每堆各成一双的概率.A 解 双鞋子随机地分成堆属分组问题，不同的分法共nn每堆各成一双共有种情况，故(2 )!(2 )! 2!2!2!(2!)nnn!n2!( )(2 )!nnP An12设事件与互不相容，求与AB( )0.4,( )0.3P AP B()P AB ()P AB解 ()1()1( )( )0.3P ABP ABP AP B 因为不相容，所以，于是,A BAB()( )0.6P ABP A13若且，求.()()P ABP AB( )P AP( )P B5解 ()1()1( )( )()P ABP ABP AP B
11、P AB 由得()()P ABP AB( )1( )1P BP Ap 14设事件及的概率分别为，求及,A BAB, ,p q r()P AB()P AB解 ()( )( )()P ABP AP BP ABpqr()( )( )()( ) 1( )( )()P ABP AP BP ABP AP BP AP AB .11qpqrpr 15设，且仅发生一个的概率为 0.5，求都( )( )0.7P AP B,A B,A B发生的概率。解1 由题意有0.5()()()P ABABP ABP AB( )()( )()P AP ABP BP AB，0.72 ()P AB所以.()0.1P AB 解2 仅发
12、生一个可表示为，故,A BABAB0.5()()( )( )2 (),P ABP ABP AP BP AB所以.()0.1P AB 16设，求与.( )0.7,()0.3,()0.2P AP ABP BA()P AB()P AB解 ，0.3()( )()0.7()P ABP AP ABP AB所以，()0.4P AB 故；()0.6P AB .0.2( )()( )0.4P BP ABP B所以( )0.6P B ()1()1( )( )()0.1P ABP ABP AP BP AB 17设，试证明ABC( )( )( )1P AP BP C证 因为，所以ABC ( )()( )( )()(
13、)( ) 1P CP ABP AP BP ABP AP B6故. 证毕.( )( )( )1P AP BP C18对任意三事件，试证, ,A B C.()()()( )P ABP ACP BCP A证 ()()()()()()P ABP ACP BCP ABP ACP ABC. 证毕.()P ABAC ()( )P A BCP A19设是三个事件，且，, ,A B C1( )( )( ),()()04P AP BP CP ABP BC，求至少有一个发生的概率。1()8P AC , ,A B C解 ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP AB
14、C因为 ，所以，于是0()()0P ABCP AB()0P ABC 315()488P ABC 20随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园202yaxxa内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小x于的概率./4解：半圆域如图设原点与该点连线与轴夹角小A x于/4由几何概率的定义22211 42( )1 2aaAP A a 的面积 半园的面积11 221把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.a解1 设三段可构成三角形 ，又三段的长分别为，A , ,x y axy则，不等式构成平面域.0, 0, 0xayaxyaS发生A0, 0,222aaaxyxya不等式确定的子域，所以SA1( )4AP A 的面积 S的面积0 y xy xa/4xS0a/2a/2aaA7解2 设三段长分别为，则且, ,x y z0, 0, 0xayaza，不等式确定了三维空间上的有界平面域.xyzaS发生Axyzxzyyzx不等式确定的子域，所以SA.1( )4AP A 的面积 S的面积22随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过 1，试求xy与之和不超过 1，积不小于 0.09 的概率.xy解 ，不等式确
