同济大学-高等数学微积分教案

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1、1 第一章：函数与极限第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数幂函数函数 （m 是常数） 叫做幂函数。幂函数的定义域，要看 m 是什么数而定。例如，当 m = 3 时，y=x3的定义域是(- ,+)；当 m = 1/2 时，y=x1/2的定义域是0,+ )；当 m = -1/2 时，y=x-1/2的定义域是(0,+ )。 但不论 m 取什么值，幂函数在(0,+)内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：如图 1.1.2 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1指数函数指数函数 函数 y=ax（a 是常数且 a0,a1）叫做指数函数，它的定义域是区间(

2、- ,+)。 因为对于任何实数值 x，总有 ax 0，又 a0=1，所以指数函数的图形，总在 x 轴的上方，且通过点(0,1)。 若 a1，指数函数 ax是单调增加的。若 00，a1），叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+)。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线 y = x 对称（图 1-22）。 y=logax 的图形总在 y 轴上方，且通过点(1,0)。 若 a1，对数函数 logax 是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+)内函数值为正。 若 0N 时都有，我们就称 a 是数列的极限，或者称数列收敛，且收敛于 a，记为，a 即为的极限。数列极限的几何解释：以

3、 a 为极限就是对任意给定的开区间，第 N 项以后的一切数全部落在这个区间内。 1.3 函数极限的概念函数极限的概念 设函数 f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定义，设 A 为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称 A 是函数 f(x)在点的极限，记作,这时称 f(x)在点极限存在，这里我们不要求 f(x)在点有定义，所以才有。 例如：，当 x=1 时，函数是没有定义的，但在 x=1 点函数的极2 限存在，为 2。 1.4 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下： 如果数列满足条件

4、，就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果 数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义） 。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于 3） ，故可知这个数列极限存在，通常用字母 e 来表示它，即 。可以证明，当

5、 x 取实数而趋于或时，函数的极限存在且都等于 e，这个 e 是无理数，它的值是 e = 2.7182818284590451.5 柯西（柯西（Cauchy）极限存在准则）极限存在准则 我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而 不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。柯西（柯西（Cauchy）极限存在准则）极限存在准则 数列数列收敛的充分必要条件是：收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数对于任意给定的正数，存在着这样的正整数，存在着这样的正整数 N，使得

6、当，使得当 mN，nN 时，就有时，就有 。必要性的证明必要性的证明 设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N，当 nN 时，有；同样，当 mN 时，也有 。因此，当 mN， nN 时，有所以条件是必要的。充分性的证明充分性的证明从略。这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大号码的点，任意两点间的距离小于。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。1.6 连续函数连续函数1.6.1 定义：定义：若函数 f(x)在 x0点的附近包括 x0点本身有定义，并且，则称 f(x)在 x0点连续，x0为 f(x)的连续点。如图 1

7、.6.2 充要条件：充要条件：f(x)在 x0点既是左连续又是右连续。 初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。 1.6.3 三类不连续点：三类不连续点： (1)第一类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。如图 (2)第二类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在。如图 (3)第三类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在且相等，但它不等于 f(x0)或 f(x)在 x0点无定义。如图 1.7 一致连续性的概念及它与连续的不同一致连续性的概念及它与连续的不同31.7.1 定义：定义：对，可找到只与有关而与 x 无关的，使得

8、对区间内任意两点 x1,x2，当时总有，就称 f(x)在区间内一致连续。1.7.2 与连续的比较：与连续的比较： (1)连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。(2)连续函数对于某一点 x0，取决于 x0和，而一致连续函数的只取决于，与 x 值无关。(3)一致连续的函数必定连续。例：函数 y = 1/x，当 x(0,1)时非一致连续，当 x(C,1)时一致连续 (4)康托定理：闭区间a , b上的连续函数 f(x)一定在a , b上一致连续。第二章：导数与微分第二章：导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微微分学是微积分

9、的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微 分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。 2.1 导数的概念导数的概念 2.1.1 导数的定义导数的定义：设函数 y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0处取得增量x（点 x0+x 仍在该领域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为,即,也可记作。导数的定义式也可取不同的形式,常见的有和 导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。 2.1.2 求导举例求导举例

10、例例 求函数（n 为正整数)在处的导数解解 把以上结果中的换成得,即更一般地,对于幂函数（为常数）,有这就是幂函数的导数公式.例例 求函数的导数解解 即 这就是说, 正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数。例例 求函数的导数.解解 =4即这就是指数函数的导数公式,特殊地,当时,因,故有 例例 求函数的导数.解解 = 作代换 即得 这就是对数函数的导数公式,特殊地,当时,由上式得自然对数函数的导数公式:2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：例例 求等边双

11、曲线 y=1/x, 在点(1/2,2)处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。解解 根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为由于,于是从而所求切线方程为即 4x+y-4=0. 所求法线的斜率为 k2-1/k1=1/4, 于是所求法线方程为 2x-8y+15=0. 2.2 微分的概念微分的概念2.2.1 微分的定义微分的定义 设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量可表示为其中 A 是不依赖于的常数,而是比高阶的无穷小,那末称函数在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分,记作,即例例 求函数 y=x2在 x=1 和 x=3 处的微分.解解 函数在处的微分为在处的

12、微分为函数在任意点的微分，称为函数的微分,记作或,即例如, 函数的微分为 函数的微分为通常把自变量的增量称为自变量的微分,记作 dx，即.于是函数 y=f(x)的微分又可记作 dy=f(x)dx, 从而有 x=3 就是说，函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做”微商”. 2.2.2 微分的几何意义微分的几何意义5 设y 是曲线 y=f(x)上的点的纵坐标的增量,dy 是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量, 当x很小时, y-dy比x小得多,因此在 M 点的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.第三章：中值定理与导数的应用第三章：中值定理与导数的应用 上一

13、章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算 方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。我们将方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。我们将 介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础 3.1 三个中值定理三个中值定理 3.1.1 罗尔定理罗尔定理 罗尔定理罗尔定理 如果函数如果函数 f(x)在闭区

14、间在闭区间a , b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a) = f(b)，那么在，那么在(a,b)内至少有一点内至少有一点，使得函数，使得函数 f(x)在该点的导数等于零：在该点的导数等于零：。3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数如果函数 f(x)在区间在区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在内可导，那么在(a,b)内至少有一点内至少有一点，使等式，使等式 (1)成立。成立。3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理 柯西中值定理柯西中

15、值定理 如果函数如果函数 f(x)及及 F(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，且内可导，且 F(x)在在(a,b)内的每一点处内的每一点处均不为零，那么在均不为零，那么在(a,b)内至少有一点内至少有一点，使等式，使等式(2)成立。成立。 3.2 洛必达法则洛必达法则 3.2.1.洛必达法则的概念洛必达法则的概念.定义:求待定型的方法(与此同时 );定理:若 f(x)与 g(x)在(a,a+)上有定义,且f(x)= g(x)=0;并且 f(x)与 g(x)在(a,a+)上存在. 0 且 =A 则= =A,(A 可以是).证明思路: 补充定义 x=a 处

16、 f(x)=g(x)=0, 则a,a+) 上= 即 x时,x,于是= 3.2.2 定理推广定理推广:由证明过程显然定理条件 x可推广到 x, x,x。所以对于待定型,可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。 注意事项: 1.对于同一算式的计算中,定理可以重复多次使用。2.当算式中出现 Sin或 Cos形式时,应慎重考 虑是否符合洛必达法则条件中 f(x)与 g(x)的存在性。向其他待定型的推广。(下转化过程中描述引用的仅为记 号.) 1. 可化为=，事实上可直接套用定理。2. 0=0 3. -=-，通分以后= 。4.、取对数0Ln0、Ln1、0Ln0、0、0 。6 3.3 泰勒公式及其误差图示泰勒公式及其误差图示 来源:实践,常用导数进行近似运算.由于 时所以,因此 范围:在直接求 f(x)困难,而在