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1、第七章 弹性力学空间问题,（参考教材第6、7章）,空间问题求解的基本思路与平面问题相同，只是问题的维数从二维扩展到三维，求解更复杂。,7-1 空间问题的基本方程,1. 平衡微分方程方程,2. 几何方程,3. 物理方程,各种弹性常数之间的关系,4. 相容方程,5. 边界条件：,位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，z方向给定位移为 ，则,应力边界条件：给定表面上的面力为,求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函数法三种方法。,1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。,2. 应力法：以应力作为
2、基本未知量。将相容方程用应力表示应力控制方程,3. 应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制方程。,7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程,一. 柱坐标系下的基本方程,直角坐标系下，空间一点M的位置由（x,y,z）表示，在柱坐标系下，空间一点M的位置由（r, q, z）表示。两坐标间的关系为：,在柱坐标系下的应力分量为,应变分量为,位移分量为,柱坐标表示的基本方程,1. 平衡方程,（7-1）,2. 几何方程,（7-2）,3. 物理方程,（7-3）,或,（7
3、-4）,当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于z轴时，则称为空间轴对称问题。 在空间轴对称问题中，有：,应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数，与q无关。,（7-5）,4. 空间轴对称问题的基本方程,(1)平衡方程：将式（7-5）代入式（7-1），得,（7-6）,(2)几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得,（7-7）,(3)物理方程：将式（7-5）代入式（7-4），得,（7-8）,(4)空间轴对称问题位移求解的基本方程,空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。以位移求解更方便。,将几何方程（7-7）代入物理方程（7-8），得,（7-9）,将式（7-9）代入平衡方程（7-
4、6），化简后得,（7-10）,不计体力：,（7-11）,位移控制方程,为求得式（7-11）的解，拉甫（Love,A.E.H）引进一个位移函数 ，它和位移分量有如下关系：,（7-12）,将式（7-12）代入式（7-11），其中第一式满足，第二式为：,表明 为双调和函数，称为拉甫位移函数。,（7-13）,将式（7-12）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的关系式:,对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函数 ，代入式（7-12）和式（7-14）求出位移和应力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。,（7-14）,拉甫位移函数的量纲比应力分量高三次,球坐标表示的基本方程（自学）,见教材
5、P144145,7-3 半空间体在边界上受法向集中力,设有一半空间体，不计体力，在水平边界受法向集中力P作用。,x,y,z,M(r，z),r,z,选P的作用点为坐标原点，Oz轴与P的作用线重合。水平边界面为xOy面。,应力边界条件：,在半空间体中过任一点M（r，z），作与边界平面平行的水平截面，取半空间体的上部分，在z方向有平衡条件,（a）,（b）,由因次分析，设想体内的应力分量表达式是力P与坐标r，z等长度坐标的负二次幂相乘，即,位移函数比应力分量高三次，即位移函数应为P与r,z等长度坐标的正一次相乘的形式。同时，随M点离O点越远，位移越小，即与R成反比。为此，设,代入式（7-12）和式（7
6、-14），得位移分量和应力分量,（c）,（d）,将应力分量式（e）代入边界条件（a），式（a）第一式满足，但式（a）第二式不满足。,（e）,（f）,为使边界条件（a）的第二式满足，应叠加一个位移函数 ，它在z=0处有 ，且给出的 能与式（f）抵消。 叠加的位移函数应是双调和函数，且是长度坐标的零次幂。由此条件，试算后，取,（g）,对应的位移分量和应力分量为：,（h）,两个位移函数式(e)和式（h）叠加后，边界条件（a）的第一式仍满足，第二式为：,即,由平衡条件（b），得,（i）,（j）,由式（i）和式（j），得,最终的位移分量和应力分量为：,（k）,（l）,由式（k）的第二式可见，水平边界上任意一点的垂直位移（即工程中关心的地表沉陷量）为,
