数值微分积分

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1、Ch8 数值微分和数值积分,1.数值微分中点公式插值型求导公式 2.数值积分基本概念,思想插值型求积公式复化求积,梯形公式的递推化龙贝格求积公式与外推加速法,1.数值微分,如果函数f(x)以离散点列给出,或函数f(x)过于复杂, 而要求我们给出导数值时，这两种情况都要求我们用 数值的方法求函数的导数值.,微积分中，关于导数的定义如下：,自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商.,x-h x x+h,B,C,A,T,f(x),由Taylor展开,因此，有误差,用向前差商近似导数得:,由Taylor展开,因此，有误差,用向后差商近似导数得:,由Taylor展开,因此，有误差,用中心差商近似

2、导数得,上述三种数值微分法有共同点:都是将导数的计算归结为 计算f在若干节点处的函数值.这类求导方法称为机械求导法. 从图形上看和截断误差得分析,中点公式更为可取.利用中点公式时注意选择适当的步长.由截断误差的表达 式知,h越小,误差越小,计算结果越准确; 但舍入误差角度分析, h越小时,f(a+h)与f(a-h)很接近,直接 相减会造成有效数字的严重损失.因此,h是不宜太小.,例 对函数 y = ex,选取不同的步长进行计算 f (1.15),观察误差的变化规律，确定最佳步长。,解 用中心差商表示的数值微分计算公式得到：h f (1.15) error h f (1.15) error 0.

3、1 3.1630 -0.0048 0.05 3.1590 -0.00080.09 3.1622 -0.0040 0.04 3.1588 -0.00060.08 3.1613 -0.0031 0.03 3.1583 -0.00010.07 3.1607 -0.0025 0.02 3.1575 0.00070.06 3.1600 -0.0018 0.01 3.1550 0.0032,利用插值原理,建立插值多项式y=Ln(x)作为f(x) 的近似.由于多项式求导比较容易,取,但是,需要注意误差分析,插值型求导公式,是x的函数,此项无法估计.,所以,对于任意给出的点x,误差无法预估的. 但是,如果限定

4、求某个节点处的导数值时,上述 第一项为零,这时余项公式为,例 给定三个插值点(xi, f(xi), i = 0,1,2, 求三个节点的数 值微分。,解 记,将 x = xi 代入 f (x), 得到三点数值微分公式：,取 n =2，得三点公式的截断误差分别为：或者,将 f(x1)和 f(x2)在 x0点Taylor展开，也可得截断误差为O(h2)。,2.数值积分,数值积分的必要性求积公式及其代数精度插值型求积公式Newton-Cotes公式及数值稳定性复化求积公式及误差估计龙贝格求积公式及外推技术Gauss型积分,数值积分的必要性 主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Le

5、ibniz公式求定积分要求被积函数f(x) 有解析表达式； f(x)的原函数F(x)为初等函数,f(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示 例如函数:,考虑一个实际问题: 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的 高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近 似2英寸为一个周期. 求制做一块波纹 瓦所需铝板的长度L.这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.,有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示

6、成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数,并不复杂,但它的原函数却十分复杂:,f(x)没有解析表达式，只有数表形式:,这些都说明,通过原函数来计算积分有它的 局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很 重要的实际意义.,求积公式及其代数精度,求积公式的概念 积分值 在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有 困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x) 是曲的.,依据积分中值定理,对于连续函数f(x) ,在a,b内存在一点,使得,称f()为区间a,b的平均高度. 问题在于 点的具体位置一般是不知道的.这样,只要 对平均高度

7、f()提供一种算法,相应地便获 得一种数值求积方法.,如果简单地选取区间a,b的一个端点或区间中点的高度作为平均高度,这样建立的求积公式分别是:左矩形公式: I(f)(b-a)f(a) 右矩形公式: I(f)(b-a)f(b) 中矩形公式: I(f)(b-a)f(a+b)/2,此外,梯形公式:I(f)(b-a)f(a)+f(b)/2 和 Simpson公式:I(f)(b-a)f(a)+4f(a+b)/2)+f(b)/6则分别可以看作用 a, b, c=(a+b)/2, 三点 高度的加权平均值 f(a)+f(b)/2 和 f(a)+4f(c)+f(b)/6 作为平均高度f()的近似值.,更一般地

8、,取区间a,b内n+1个点 xi,(i=0,1,2,n)处的高度f(xi) (i=0,1,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(),这类求积方法称为机械求积:,或写成:,数值积分公式,求积系数 不依赖于f(x), 仅与 有关,求积节点,(1),记,称(2)为数值求积公式,(3)为求积公式余项(误差).,构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有,(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ； (ii)求积公式的误差估计和收敛性.,为了构造形如式(2)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则, 代数精度设a, b上以 xi 为积分节点的数值积分公式为若对任意次数不超过 m 次的多项式成

9、立 , 而对 m +1次多项式有 In(xm+1) I(xm+1), 则称公式 In( f )具m 次的代数精度.一般的,要使求积公式具有m次的代数精度,只要令它对 1,x,x2,xm都能精确成立,即:,构造机械求积公式的问题,原则上是个确定参数xk,Ak 的代数问题.,用插值函数的积分，作为数值积分,插值型求积公式的代数精度,由Lagrange插值的误差表达式，,有,所以,插值型求积公式至少n次代数精度。,插值型求积公式,Newton-Cotes 公式,将区间a,b做n等分,步长记为h. 插值型的求积公式中,选取等距节点xk=a+kh, 构造出插值型的求积公式称为Newton-Cotes公式

10、.,设节点步长,(b-a),Cotes系数与步长h无关, 可以预先求出.,特别的,n1时,梯形公式 代数精度为1,步长h=b-a,此处用了积分中值定理,n2时,计算,Simpson公式 有3次代数精度,步长h=(b-a)/2,或,n=4时,得到有5次代数精度的Cotes公式.,梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的积分余项如下:,复化求积,数值积分公式与多项式插值有很大的关系.因此Runge 现象的存在,使得我们不能用太多的积分点计算.采用与插值类似的方法:分段、低阶的方法. 即:将积分区间分成几个小区间,在每个小区间上用低阶 的Newton-Cotes公式如梯形公式,或辛普生公式,或

11、柯 特斯公式,然后累加求和作为所求积分的近似值.于是就 得到了复化梯形公式,复化辛普生公式,复化柯特斯公式.,误差,做等距节点，,1)复化梯形公式,由中值定理知,可以看出，复化梯形公式是收敛的。,复化梯形公式积分法,做等距节点，,2)复化Simpson公式,余项,复化Simpson公式积分法,3)复化柯特斯公式余项,例：计算,解：,其中,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,例 计算 使计算结果有5位有效数字. 用复化梯形求积公式，求分点数。,解,鉴赏复化求积法:复化的梯形法,辛普生法和柯特斯法 均收敛到所求的积分值.改善了求积精度.算法简单. 但是计算的工作量主要耗费

12、在函数求值上.是通过加大计算量来提高精度的,而且收敛缓慢.,由复化梯形误差公式得,先看看事后误差估计 （不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的）,以复化梯形公式为例,n等分区间,2n等分区间,近似有：,类似，复化Simpsom公式,梯形公式的递推化,Romberg算法,由前面的事后误差估计式，,则，,这启发我们，可以用低阶的公式组合后称为一个高阶的公式。,类似地，,例：计算,已知对于 = 106 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3.14159202,由 来计算 I 效果是否好些？,考察,= 3.141592502,= S4,一般有：,Romberg 序列, Romberg算法：,

13、?, ?, ?, , 理查德森外推法 /* Richardsons extrapolation */,利用低阶公式产生高精度的结果。,设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + ,i 与 h 无关,Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？,即：,例 用Romberg求积方法计算的近似值,给定=0.001，解 首先令区间长度 h1=1 ,用梯形求积公式计算,区间0,1分半,令区间长度 , 计算加速一次这时未达到精确度要求.为此,再将区间分半,令区间长度 递推计算,外推加速 分别

14、用 和 的组合得到 以及用 和 的组合得到 ,即以及这时, 已满足精度的要求. 作为所求积分的近似,其误差为 .,Gauss型积分公式,Newton-Cotes积分公式，可以知道n为偶数时，n1个点数值积分公式有n1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。,例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量， 则有4个未知量 可以列出4个方程： （以f(x)在-1,1为例）,可解出：,可以看出，数值积分公式,具有3阶代数精 度，比梯形公式 1阶代数精度高,一般性，考虑积分：,称为权函数,定义两个可积函数的内积为：,两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0,以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式有2n1阶的代数精度。,Gauss点,Gauss积分，记为Gn(f),(2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , xn 即为Gsuss点.,(1)求出区间a,b上关于权函数的正交多项式pn(x) .,(3)计算积分系数,Gauss型求积公式的构造方法,区间-1,1上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点.,(1) Gauss-Legendre求积公式,公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .,