2013世纪金榜3.8

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1、第八节 应用举例,三年8考 高考指数: 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.,1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点. 2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题.,1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图).,(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).,(3)方向角 相对于某一正方向的水平角(如图) 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向. 北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向.

2、 南偏西等其他方向角类似.,(4)坡度 定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角) 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡比).,(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示:三者的参照不同仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的. (2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置？ 提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.,【即时应用】,(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋 观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的 北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的_方向. 【解析】由已知ACB18040

3、6080， 又ACBC，AABC50，605010. 灯塔A位于灯塔B的北偏西10. 答案：北偏西10,2.解三角形应用题的一般步骤 (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型. (3)选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.,【即时应用】 (1)已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测 得ABC=120，则A、C两地的距离为_km. (2)如图，在坡度为15的观礼台上， 某一列座位与旗杆在同一个垂直于地 面的平面上，在

4、该列的第一排和最后 一排测得旗杆顶端的仰角分别为60 和30，且第一排和最后一排的距离为 米，则旗杆的高度为_米.,【解析】(1)如图所示， 由余弦定理可得： AC2=100+400-21020cos120=700， AC= (km). (2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为 点C，则 在ABC中，AB ，CAB45，ABC105，,所以ACB30， 由正弦定理，得 故h30米. 答案：(1) (2)30,测量距离的问题 【方法点睛】求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确

5、定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,【例1】(1)如图，为了测量河的宽度， 在一岸边选定两点A，B望对岸的标记 物C，测得CAB30，CBA75， AB120 m，则这条河的宽度为_. (2)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 的C、D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D在同一平面内)，则两目标A、B之间的距离为_.,【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系求得；(2)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求得. 【规范解答】(1)如图，在ABC中，过C作CDAB于D

6、点， 则CD为所求宽度， 在ABC中， CAB30， CBA75， ACB75， ACAB120 m.,在RtACD中， CDACsinCAD120sin3060(m)， 因此这条河宽为60 m. 答案：60 m,(2)如图所示，在ACD中， ADC30， ACD120， CAD30， ACCD 在BDC中， CBD180457560. 由正弦定理可得,在ABC中，由余弦定理可得 AB2AC2BC22ACBCcosBCA，即两目标A、B间的距离为 km. 答案： km,【互动探究】若将本例(2)中A、B两点放到河的两岸,一测量者 与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为 50

7、 m，ACB45，CAB105后，则A、B两点的距离为_m. 【解析】由正弦定理得答案：,【反思感悟】1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型. 2.利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.,【变式备选】某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？,【解析】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处. 在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由

8、余弦定理得则sin2C =1-cos2C= 所以sinMAC = sin(120-C)= sin120cosC-cos120sinC =,在MAC中，由正弦定理得从而有MB=MC-BC=15(千米), 所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.,测量高度问题 【方法点睛】处理高度问题的注意事项 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键 (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.,【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意

9、三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.,【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度. 【解题指南】设出塔高x，先放到RtABC和RtABD中把BC和BD用x表示；再在BDC中用余弦定理求得x.,【规范解答】如图，设电视塔AB的高为x m， 则在RtABC中，由ACB45得BCx. 在RtABD中，ADB30， BD 在BDC中，由余弦定理，得 BD2BC2CD22BCCDcos120， 即 x24022x40cos120， 解得x40，电视

10、塔高为40米.,【反思感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.,【变式训练】某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高. 【解析】如图：在BCD中，CD40，BCD30，DBC135， 由正弦定理得 过B作BECD于E，显然当人在E处 时，测得塔的仰角最大，有BEA30.,在RtBED中，BDE1801353015， BEDBsin15 在RtABE中， 所以塔高为 米.,测量角度的问

11、题 【方法点睛】测量角度问题的一般步骤 (1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解 同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量.,【例3】在海岸A处，发现北偏东45方向、距离A处( -1)海 里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向、距离A处2海里 的C处的缉私船奉命以 海里/小时的速度追截走私船.同 时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃 窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时 间？,【解题指

12、南】设出缉私船t小时后在D处追上走私船后，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间. 【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船， 则有CD=10 t,BD=10t. 在ABC中，AB= -1,AC=2,BAC=120. 利用余弦定理可得BC= 由正弦定理，得,得ABC=45，即BC与正北方向垂直. 于是CBD=120. 在BCD中，由正弦定理，得 得BCD=30, 又所以当缉私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船，最少要 花 小时.,【反思感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽取主要因素，进行适当地简化.另外

13、要准确选择恰当的三角形，把实际问题转化到三角形中时，正确地表示出所用的边和角.,【变式训练】如图，当甲船位于A处时获 悉，在其正东方向相距20海里的B处有一 艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救 援，同时把消息告知在甲船的南偏西30， 相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北 偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(已知sin41 角度精确到1)?,【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010 cos120=700. 所以BC=ACB90,ACB=41. 乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.,【变式备选】如图,某污水处理厂要在 一个长方体污水处理池的池底(ABCD) 铺设污水净化

14、管道(RtFHE,H是直角 顶点)来处理污水,管道越长,污水净化 效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E，F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20 m,AD= m,记BHE=. (1)试将污水净化管道的长度L表示成的函数,并写出定义域； (2)若sin+cos= 求此时管道的长度L； (3)当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.,【解析】(1)在RtBHE中， EH= 在RtAFH中， 在RtEFH中， 所以管道总长L=FH+EH+EF= (2)因为sin+cos= 所以sincos= 代入(1)中结论得L=20( +1)(m)；,(3)因为 设此时 时,铺设的管道最长

15、,为,【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答 【典例】(12分)(2012三明模拟)如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面 内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测 量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别 为75，30，于水面C处测得B点和D点 的仰角均为60，AC=0.1 km. (1)试探究图中B，D间的距离与另外哪两点间距离会相等？ (2)求B，D间的距离.,【解题指南】作出图形确定利用的三角形，(1)要充分利用仰角和俯角与三角形中的角的关系；(2)利用正弦定理正确地解答.,【规范解答】(1)如图， 在ADC中，DAC=30， ADC=60DAC=30, CD=AC=0.1 km， 4分 又BCD=1806060 =60，CED=90， CB是CAD底边AD的中垂线， BD=BA. 6分,