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1、极限,第二节,学习重点,利用两个重要极限计算极限,无穷小的概念及其比较,理解极限的概念，掌握极限的运算法则,极限思想,一尺之棰，日取其半，万世不竭,剩余长度依次为,1，,不为零，但无限接近零,1/2 ，,1/4 ，,1/ 8 ，,1/16 ，,1/32 ，,我国战国时期（公元前4世纪）名家公孙龙等人提出命题：,在中国古代的萌芽和应用,刘徽割圆术,割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体而无所失矣,数列的概念,数列 就是指按自然数编了号的一列数,记为 an , 其中 an 称为该数列的通项。,2，4，8，. , 2n ，. ,几个数列的例子:,数列的极限,随着项数 n 的增大，
2、an 越来越接近 A,（不够确切）,n充分大时， an 的值可以无限逼近A,（定性描述）,（精确定义）,下面逐步给出极限的定义,设有数列 an 和常数 A，如果对任意给定的正数，总存在一个正整数 N，使得对于 n N 时的一切 an，总有,成立，则称常数 A是数列an 的极限，或称数列an 收敛于A,或,如果数列没有极限，就称数列是发散的。,记作,数列极限举例,求下列极限：,类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。,对于数列极限,故,很自然地,函数的极限,相似地,相似地，可定义单侧情形：,自变量趋
3、于无穷大时函数的极限,即,观察 y = arctan x 的图像,从图像容易看出结果,所以,考虑函数 f (x) = ax , 分 a1, 0a1两种情形下，分别求 x +, x ， x 时 f (x)的极限。,思考,由题设知，分子必须是 x 的零次多项式,解答,邻域（ neighborhood）的概念,自变量趋于有限值时函数的极限,自变量趋于有限值时函数的极限,即,注意事项： （1）定义中 xa的过程中, xa 成立。,函数极限的几何解释,（3）极限值 与函数值 无关。,（2）,左极限 left-hand limit,右极限 right-hand limit,x 仅从 a 的左侧趋于a ，,
4、记作,或,x 仅从 a 的右侧趋于a ，,记作,或,左极限与右极限,考虑符号函数,现在考虑 x 从左右两个方向趋于0时 f (x) 的极限,右极限,左极限,从右边趋于0,从左边趋于0,左右极限不相等,例 题,函数极限的性质,局部保号性,局部有界性,设,计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化为该点函数值的计算。,初等函数的极限性质,如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷小（量）,无穷小举例,无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数。,都是无穷小量,是无穷小量,是无穷小量,与,与,无 穷 小,无穷小与自变量的变化过程有关，
5、如 时 是无穷小，但 时，则 不是无穷小。,推论： （1）有限个无穷小之和仍是无穷小；（2）常数与无穷小的乘积是无穷小； （3）有限个无穷小的乘积仍是无穷小。,例如 ，因为,所以,有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。即,同理,即,其中,极限与无穷小的关系,两个无穷小的和或差，仍是无穷小。,无穷小的性质,如果函数 f (x) 在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷大（量）。,只有一种趋势,包括两种趋势,如,无 穷 大,观察函数 y=1/x 的图像,再考察函数 y = ln x,注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数
6、值的一种变化趋势。,无穷小和无穷大的关系,在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。,无穷小和无穷大的运算法则,以下A 表示有极限的函数，K 表示有界函数，C 代表常数,结果不定，称为未定式,极限的四则运算法则,复合函数的极限运算法则,幂指函数的极限运算法则,因式分解 消除零因子,有理化 消除零因子,消除零因子,夹逼准则,单调有界原理,极限存在准则,两个重要极限,单调有界数列必有极限,.,对于其它趋势的极限，以及数列有类似的夹逼准则,利用这两个准则可以 分别证明这两个公式,由 x0 得 3x0即 u0,重要极限的应用举例,重要极限,练一练,例,重要极限的应用举例,公式特点：,练一练,定义,无穷小的比较,例,比较下列两个无穷小,低阶,高阶,同阶,练一练,无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度：高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。,求两个无穷小之比的极限时，分子分 母都 可用等价无穷小来替换。适当替换可以简化 极限的计算。,等价无穷小替换定理,证明,常用等价无穷小,练一练,例题 求极限,解 原式,
