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1、1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系,自 学 导 引 (学生用书P5) 1.了解命题的逆命题否命题逆否命题,能写出原命题的其它三种命题. 2.能利用四种命题间的关系判断命题的真假.,课 前 热 身 (学生用书P5) 1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做_,其中一个叫_,另一个叫原命题的_. 2.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做_.如果把其中的一个叫做原命题,那么另一个叫做原命题的_.,互逆命题,原命题,逆命题,互否命题,否命题,3.对
2、于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做_.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的_.,互为逆否命题,逆否命题,名 师 讲 解 (学生用书P5) 1.四种命题的概念 一般地,用p和q分别表示一个命题的条件和结论.用“pq表示p和q的否定.于是四种命题的形式就是: 原命题:若p则q(pq); 逆命题:若q则p(qp); 否命题:若p则q(pq); 逆否命题:若q则p(qp).,2.四种命题间的关系,3.四种命题的真假关系 (1)一个命题总可以改写为“若p则q”的形式.其中p为命题的条件,q为命题的结论.如“正数的平方根
3、不等于0”.可改写为:“若a为正数,则a的平方根不等于0”.这里增加了一个字母a,以便表达更清楚. (2)若原命题为真,则它的逆否命题为真,而它的逆命题否命题真假不定.如原命题:“若a=b,则ac=bc”为真命题,而它的逆命题:“若ac=bc,则a=b”真假不定.当c0时,有a=b成立.当c=0时,a不一定等于b.,(3)互为逆否的两个命题是同真假的,也叫等价命题;在四种命题中,有两对等价命题:“原命题与逆否命题” ,“逆命题与否命题”.因此,四种命题中真假命题的个数一定是偶数.,典 例 剖 析 (学生用书P5) 题型一 四种命题的概念 例1:写出下列命题的逆命题否命题逆否命题,并判断真假.
4、(1)实数的平方是非负数; (2)对顶角相等; (3)若m0或n0,则m+n0. 分析:分清条件和结论,利用相关知识点判断真假.,解:(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题. 否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题. (2)逆命题:若两个角相等,则这两个角是对顶角.假命题. 否命题:若两个角不是对顶角,则这两个角不相等,假命题. 逆否命题:若两个角不相等,则这两个角不是对顶角,真命题.,(3)逆命题:若m+n0,则m0或n0,真命题. 否命题:若m0且n0,则m+n0,真命题. 逆否命题:若m
5、+n0,则m0且n0,假命题. 规律技巧:若一个命题不是“若p则q”的形式,先改写成“若p则q”的形式.如(2)可改写成“若两个角是对顶角,则这两个角相等.”然后再按定义写出其逆命题否命题逆否命题.,变式训练1:分别写出下列命题的逆命题否命题逆否命题,并判断它们的真假. (1)若q1,则方程x2+2x+q=0有实根; (2)若ab=0,则a=0或b=0; (3)若x2+y2=0,则xy全为零.,解:(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,则方程x2-2x+m=0无实数根.,解:(1)abcdR,若ac或bd,则a+bc+d的逆否命题是:abcdR,若a+b=c+d,则a=c且b=
6、d. 显然该命题是假命题(不妨举反例,取a=d=2,b=c=3),所以原命题是假命题. (2)若m1,则方程x2-2x+m=0无实数根的逆否命题为:若方程x2-2x+m=0有实数根,则m1. x2-2x+m=0有实数根, =4-4m0即m1. 逆否命题成立,故原命题是真命题.,例3:证明:已知函数f(x)是R上的增函数,a,bR.若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0. 分析:该题直接证明比较困难,可考虑证明它的逆否命题. 证明:原命题的逆否命题是:“若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).”若a+b0,则a-b,b-a,又f(x)在R是增函数,f(a)f(-b
7、),f(b)f(-a). f(a)+f(b)f(-a)+f(-b). 即逆否命题为真命题,故原命题为真命题.,规律技巧:在证明时,一定要正确写出已知命题的逆否命题.该证法是证明已知命题的等价命题逆否命题.可称之为逆否证法,它与反证法不同.,变式训练3:已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数,a,bR,若f(a)+f(b)0,求证:a+b0. 证明:原命题的逆否命题是: 若a+b0,则f(a)+f(b)0. 若a+b0,则a-b, f(x)在R上为增函数, f(a)f(-b). 又f(x)为奇函数, f(-b)=-f(b), f(a)-f(b), 即f(a)+f(b)b,则a2b2的逆否命题”;
8、 “若x-3,则x2+x-60”的否命题; “若ab是无理数,则ab是无理数”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B,解析:逆命题:“若xy互为相反数,则x+y=0”是真命题. 原命题是假命题,其逆否命题是假命题. 否命题:“若x-3,则x2+x-60”,例如x=4-3,则有x2+x-6=16+4-60.为假命题.逆命题:“若ab是无理数,则ab是无理数.”举反例,取,变式训练4:在下列命题中,真命题是( ) A.“若acbc,则ab” B.“若b=3,则b2=9”的逆命题 C.“当x=2时,x2-3x+2=0”的否命题 D.“相似三角形对应角相等”的逆
9、否命题 解析:分析选项易知,“相似三角形对应角相等”是真命题,所以它的逆否命题也是真命题. 答案:D,技 能 演 练 (学生用书P7) 基础强化 1.命题:“设abcR,若ac2bc2,则ab”及其逆命题否命题逆否命题中真命题共有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 解析:ac2bc2,则ab为真命题,它的逆否命题为真命题.而逆命题“若ab,则ac2bc2”为假命题,否命题为假命题.因此,真命题有两个. 答案:B,2.若一个命题p的逆命题是一个假命题,则下列判断一定正确的是( ) A.命题p是真命题 B.命题p的否命题是假命题 C.命题p的逆否命题是假命题 D.命题p的否命题是真命题
10、 答案:B,3.“若xyR且x2+y2=0,则xy全为0”的否命题是( ) A.若xyR且x2+y20,则xy全不为0 B.若xyR且x2+y20,则xy不全为0 C.若xyR且xy全为0,则x2+y2=0 D.若xyR且xy0,则x2+y20 答案:B,4.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为( ) A.若一个数是负数,则它的平方是正数 B.若一个数的平方不是正数,则它不是负数 C.若一个数的平方是正数,则它是负数 D.若一个数不是负数,则它的平方是非负数 答案:C,5.(2008广东)命题“若函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数,则log
11、a20,a1)在其定义域内不是减函数 B.若loga20,a1)在其定义域内不是减函数 C.若loga20,则函数f(x)=logax(a0,a0)在其定义域内是减函数,D.若loga20,a1)在其定义域内是减函数 答案:A,6.(2008山东)给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题否命题逆否命题三个命题中,真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:原命题为真命题,它的逆命题“函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”是假命题. 逆否命题是真命题,否命题是假命题. 答案:C,7.命题“若AB=B,则AB
12、”的否命题是_,逆否命题是_. 答案:若ABB,则AB 若AB,则ABB 8.“若不等式x2+px+q0的解集为R,则p2-4q0”的逆命题为_;否命题为_;逆否命题为_. 答案:若p2-4q0,则不等式x2+px+q0的解集为R 若不等式x2+px+q0的解集为R,则p2-4q0 若p2-4q0,则不等式x2+px+q0的解集为R,能力提升 9.命题“若m0,则2x2+3x-m=0有实根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论. 解:原命题的逆否命题为真命题, m0,=9+8m0,方程2x2+3x-m=0有实根. 故原命题为真命题.又原命题与其逆否命题等价. 命题“m0,则2x2+3x-m=0有
13、实根”的逆否命题是真命题.,10.判断命题“已知axR,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,则a1”的逆否命题的真假.,解:原命题的逆否命题为: 已知a,xR,如果a1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集. 判断如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上, 判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7 a1,4a-70. 即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点, 关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集. 故逆否命题为真.,品味高考 11.(2010天津卷)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是奇函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 答案:B,12.(2009重庆)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”答案:B,
