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1、1.3 条件概率与贝叶斯公式,一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与贝叶斯公式,条件概率 Conditional Probability,抛掷一颗骰子,观察出现的点数,A=出现的点数是奇数1,3,5,B=出现的点数不超过31,2,3,若已知出现的点数不超过3,求出现的点数是奇数的概率,即事件B已发生,求事件A的概率(|),AB都发生,但样本空间缩 小到只包含的样本点,设,为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且(), 则称,为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率,定义,条件概率 Conditional Probability,Sample space,Reduced sample space
2、 given event B,条件概率 P(A|B)的样本空间,概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系,联系:事件A,B都发生了,区别:,(1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异, B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生。,(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本 空间;在P(AB)中,样本空间仍为 。,因而有,例 设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品,规定一、二等品为合格品从中任取1 件,求 (1) 取得一等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等品的概率,解,设表示取得一等品,表示取得合格品,则,(1)因为100 件产品中有 70
3、 件一等品,所以,(2)方法1:,方法2:,因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以,三张卡片的游戏,假设老师的手里的三张卡片是不同的 现在把卡片放在包里摇晃一番,让你随意地抽出一张来,放在桌子上,这时候,卡片的一面就露了出来,是黑点或者是圆圈。假定露出的是个圆圈,要与你赌这张卡片的背面是什么?是黑点,还是圆圈。我赌的是正反面一样,都是圆圈,那你只能赌黑点了。 你觉得这个游戏公平吗? 很明显这张卡片不可能是黑点-黑点卡,因此,它要么是圆圈-圆圈卡,要么是黑点-圆圈卡,二者必居其一,这样一来,这张卡片的背面不是黑点,就是圆圈,所以赌什么都一样,全是公平的,你和我赢的机会均等,都是。,让我们看
4、看问题出在哪里?我千方百计要你相信的是,同样可能发生的情况只有两种。然而事实是,同样可能发生的情况有三种在这里你一定要把正反面区分开来看,将正面朝上视为一种情况,将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意抽一张放在桌子上,同样可能发生的情况有六种: 1.黑点-黑点卡的正面;2.黑点-黑点卡的反面; 3.圆圈-黑点卡的正面;4.圆圈-黑点卡的反面; 5.圆圈-圆圈卡的正面;6.圆圈-圆圈卡的反面。因此,如果抽出的卡片放在桌子上,露出了圆圈,它所代表的情况可能是: 圆圈-黑点卡的正面;圆圈-圆圈卡的正面;圆圈-圆圈卡的反面。在这三种情况中,“正反面一样”的情况占了两种,因此,在玩了多次以后,庄家就会三
5、回里赢两回,你的钱很快就会流入他的腰包里,这可以算是智力诈骗吧。,例 考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩,求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率.(假定生男生女为等可能),= (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) ,解,于是得,故两个条件概率为,乘法法则,推广,一批产品中有 4% 的次品,而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率,设表示取到的产品是一等品,表示取出的产品是合格品, 则,于是,所以,解,例,解,一个盒子中有只白球、只黑球,从中不放回地每次任取只,连
6、取次,求 (1) 第一次取得白球的概率; (2) 第一、第二次都取得白球的概率; (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率,设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 则,(2),(3),(1),例,练一练,全年级100名学生中,有男生(以事件A表示)80人,女生20人; 来自北京的(以事件B表示)有20人,其中男生12人,女生8人;免修英语的(以事件C表示)40人中,有32名男生,8名女生。求,练一练,某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示“活到20岁”,B表示“活到25岁”,则,所求概率为,解,一
7、、全概率公式, 0.6,一个盒子中有只白球、只黑球,从中不放回地每次任取只,连取次,求第二次取到白球的概率,例,A=第一次取到白球,B=第二次取到白球,所以,全概率公式,设1 ,2 , . ,n 构成一个完备事件组,且 (i )0,i1, 2, . , n,则对任一随机事件,有,全概率公式,例 设播种用麦种中混有一等,二等,三等,四等四个等级的种子,分别各占95.5,2,1.5,1,用一等,二等,三等,四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率,解,设从这批种子中任选一颗是一等,二等,三等,四等种子的事件分别是1,
8、2,3,4,则它们构成完备事件组,又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件,则由全概率公式:,95.50.520.151.50.110.05,0.4825,贝叶斯公式 Bayes Theorem,后验概率,设A1,A2,, An构成完备事件组,且诸P(Ai)0, B为样本空间的任意事件,P(B) 0 , 则有,( k =1 , 2 , , n),证明,贝叶斯公式 Bayes Theorem,例 设某工厂有甲乙丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %,35%, 40%,而且各车间的次品率依次为 5% ,4%,2%. 现从待出厂的产品中检查出一个次品,试判断
9、它是由甲车间生产的概率.,解,设1,2,3 分别表示产品由甲乙丙车间生产,表示产品为次品. 显然,1,2,3构成完备事件组. 依题意,有,(1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%, (|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%,(1|),甲箱中有3个白球,2个黑球,乙箱中有1个白球,3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中,再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少?,解,设B=“从乙箱中取出白球”,,A=“从甲箱中取出白球”,,练一练,利用全概率公式,爱滋病普查:使用一种血液试验来检测人体内是 否携带爱滋病病毒.设这种试验的假阴性比例为5% (即在携带病毒的人中,有5%的试验结果为阴性), 假阳性比例为1%(即在不携带病毒的人中,有1%的 试验结果为阳性).据统计人群中携带病毒者约占 1,若某人的血液检验结果呈阳性,试问该人携 带爱滋病毒的概率.,讨论,符号引入:“携带病毒”为A,“实验呈阳性”为B,则,求,已知在所有男子中有5%,在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症,问其为男子的概率是多少?(设男子和女子的人数相等)。,练一练,解:设A=“男子”,B =“女子” C=“这人有色盲”,