《2015年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题及答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 20151 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设 为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是i1 i izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 过抛物线的焦点的直线 交抛物线于两点若中点到抛物线准线的24yxFl,A BABM距离为 6，则线段
2、的长为 A B C D无法确定 AB69123设函数的图象为，下面结论中正确的是( )sin(2)3f xxCA函数的最小正周期是B图象关于点对称( )f xC(,0)6C图象可由函数的图象向右平移个单位得到C( )sin2g xx3D函数在区间上是增函数( )f x(,)2 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A 42 6B8 C 42 3D4 3 5.表示不重合的两个平面， 表示不重合的两条直线若，则“ ”是“ ，mlmlllml且 ”的 A充分且不必要条件 B必要且不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件l6在中，则的最大值是 A B C DABC 4B sinsin
3、AC12 43 42 222 47点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 A. B. 3 C. D.2OABC24OAOBOC 0 ABCAOC7 25 28.设连续正整数的集合1,2,3,.,238I ，若T是I的子集且满足条件：当xT时，7xT，则集合T中元素的个数 最多是（ ） A.204 B. 207 C. 208 D.209 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 x(1,2)Psin()10双曲线（）的离心率是
4、 ；渐近线方程是 22:C xy011.设不等式组表示平面区域为,在区域内随机取一点,则点落在圆内的概率为 .240,0,0xyxy DDPP221xy12有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1 点响 1 声，2 点响 2 声，3 点响 3 声，12 点响 12 声（12 时 制） ，且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为 1 秒在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是 12 点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是 11 点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时 间 13在锐角的边上有异于顶点的 6 个点，边上有异于顶点的 4 个点，加上点，以这 11 个点
5、为顶点AOBOAOOBOO 共可以组成 个三角形（用数字作答） 14已知函数下列命题：函数既有最大值又有最小值；函数的图象是轴对称1sin( )()xxxf xxR( )f x( )f x图形；函数在区间上共有 7 个零点；函数在区间上单调递增其中真命题是 （填( )f x ,( )f x(0,1) 写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分 13 分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的 年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在 2080 岁（含 20 岁和 8
6、0 岁）之间的 600 人进行调查，并按年龄层次20,30)， 30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在20,40)岁的人为“青年人” ， 40,60)为“中年人” ， 60,80为“老年人”.（）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的 600 人的平均年龄；（）将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的人口分布的概率从该城市 20-80 年龄段市民2中随机抽取 3 人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望XX 16 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面A
7、BCD是正方形，侧面PAB 底面ABCD， PAAB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动 （）若F为BC中点，求证：EF/平面PAC；（）求证： AEPF；（）若2PBAB，二面角EAFB的余弦值等于11 11，试判断点F在边BC上的位置，并说明理由.17 （本小题满分 13 分）若有穷数列，（是正整数）满足条件：，则称其1a2a3,maam1(1,2,3,)im iaaim 为“对称数列” 例如，和都是“对称数列” （）若是 25 项的“对称数列” ，且，1 , 2 , 3 , 2 , 11 , 2 , 3 , 3 , 2 , 1nb,13b,14b15,b是首项为 1，公比为 2 的等比
8、数列求的所有项和；（）若是 50 项的“对称数列” ，且，25bnbSnc,26c,27c28,c是首项为 1，公差为 2 的等差数列求的前项和，.50cncnnS150,nnN18 （本小题满分 13 分）设函数 （）当时,求函数)(xf的单调区间；2e( ),1ax f xaxR3 5a （）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围( )g x( )f x1 ,2eex( )f x( )g xa19 （本小题满分 14 分）已知椭圆过点，离心率为过椭圆右顶点的两条斜率2222:1(0)xyCabab3(1,)23 2A乘积为的直线分别交椭圆于两点 （）求椭圆的标准方程；
9、（）直线是否过定点？若过定点1 4C,M NCMND，求出点的坐标；若不过，请说明理由DD 20 （本小题满分 13 分）已知函数，,且 （）当，123( )()()()f xxxxxxx1x2x3xR123xxx10x ，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值；（）求证：方程有两个不21x 32x ( )f xmxm( )0fx相等的实数根；（）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由( )0fx, 12 2xx, 北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 20151 一、选择题（满分一、选择题（满分 40 分）分）二、填空题（满分二
10、、填空题（满分 30 分）分） （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题三、解答题（满分（满分 8080 分）分） 15.（本小题满分 13 分）解：（）由题意估算，所调查的 600 人的平均年龄为： （岁）.4 分25 0.1 35 0.245 0.355 0.265 0.1 75 0.148（）由频率分布直方图可知， “老年人”所占的频率为.所以从该城市 2080 年龄段市民中随机抽取 1 人，抽到“老年1 5人”的概率为.依题意，X 的可能取值为.,1 50,1,2,3003 31464(0)( ) ( )55125P XC12 31448(1)( )( )55125
11、P XC,22 31412(2)( ) ( )55125P XC330 3141(3)( ) ( )55125P XC所以，随机变量 X 的分布列如下表：题号题号12345678 答案答案DCBACDAC题号题号91011121314答案答案2 5 5;2yx 1611;11120DPCBFAEO频率 组距203040506080700.010.030.02年龄3X0123 P64 12548 12512 1251 125因此，随机变量 X 的数学期望.13 分64481213()01231251251251255E X 16. （本小题满分 14 分） （）证明：在PBC中，因为点E是PB中
12、点，点F是BC中点，所以/又因为EFPC 平面，平面，所以/平面4 分EF PACPC PACEFPAC（）证明：因为底面是正方形，所以又因为侧面PAB 底面ABCD，平面PAB平面ABCD=ABCDBCABAB， 且平面，所以平面由于平面，所以由已知，点BC ABCDBC PABAE PABBCAEPAAB是的中点，所以又因为，所以平面.因为平面，所EPBAEPB=PBBC BAE PBCPF PBC 以9 分AEPF（）点为边上靠近点的三等分点因为，所以PAABFBCBPAAB2PBAB由（）可知，BC 平面PAB.又BC/AD,所以AD 平面PAB，即 ADPA，ADAB.所以AD，AB
13、，AP两两垂直分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系（如图）.不妨设，则2AB BFm，.于是，(0,0,0)A(0,2,0)B(0,0,2)P(0,1,1)E( ,2,0)F m(0,1,1)AE .设平面的一个法向量为，由 得( ,2,0)AFm AEF( , , )p q rn0,0,AEAF nn取，则，得 由于，0, 20.qrmpq 2p qm rm(2,)m mnAPAB,所以平面.即平面ABF的一个法向量为APADABADAAP ABCD(0,0,2)AP 根据题意，解得 221111| |422APmAPm nn2 3m 由于，所以.即点为边上靠近点的三
14、等分点14 分2BCAB1 3BFBCFBCB17.（本小题满分 13 分） （）依题意，.则，131,b 142b 1212 251322bb12 1252bb11 2242bb.则 6 分12142bb12121212121 ( )22.121112Sbbb 1423（）依题意，因为是 50 项的“对称数列” ，所以， 502624 249ccnc15049,cc24947,cc25261.cc所以当时，；当时，125n250nSnn 2650n251(25)(25)(26) 22nSSnnn.综上， 13 分nS 1250502nn22501255012502650,.nnnnnSnnnnNN，18. （本小题满分 13 分） （）解：当时，由得，解得3 5a 3 2522e(3103)( )5(1)x xxfxx
