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1、动量定理、动量矩定理和动能定理(一起被称为动力学普遍定理)从不同角度研究了质点或质点系的运动量(动量、动量矩、动能)的变化与力的作用量(冲量、力矩、功等)的关系。但每一定理又只反映了这种关系的一个方面, 即每一定理只能求解质点系动力学某一方面的问题。,10.6 普遍定理综合应用,10.6 普遍定理综合应用,动量定理和动量矩定理是矢量形式, 因质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩, 应用时只需考虑质点系所受的外力; 动能定理是标量形式, 在很多问题中约束反力不作功, 因而应用它分析系统速度变化是比较方便的。但应注意, 在有些情况下质点系的内力也要作功, 应用时要具体分析。,研究动力学普遍定理综
2、合应用有两方面含义: 其一, 对一个问题可用不同的定理求解; 其二, 对一个问题需用几个定理才能求解。,10.6 普遍定理综合应用,有时一个问题, 几个定理都可以求解, 此时可选择最合适的定理, 用最简单的方法求解。对于复杂的动力学问题, 不外乎是几种情况的组合, 可以根据各自定理的特点联合应用。下面举例说明。,解：取杆为研究对象,由质心运动定理：,例 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时杆的角加速度及O处反力。,由刚体定轴转动微分方程：,例9 物体A、B，质量分别为 mA、mB，用弹簧相连，放在光滑水平面上。弹簧原长为 l0 ，刚度系数为k。现将弹簧拉长到 l 后无初速释放，求当弹
3、簧恢复原长时物体 A、B 的速度，弹簧质量不计。,A,B,y,x,质点系包含两个质点A、B由于质点位移在水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，故内力F、F所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体A、B的速度分别为 vA、vB，方向如图示。由动能定理：,解：作受力图。,即,由质点系动量守恒得,联立解之得,例10 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。,解：（1）取圆盘为研究对象,圆盘作平动。,（2）用动能定理求速度,代入数据，得,取整个系统研究。初始时T1=0 ，,最低位置时
4、：,（3）用动量矩定理求杆的角加速度a 。,盘质心加速度：,杆质心C的加速度：,（4）由质心运动定理求支座反力。 取整个整个系统 为研究对象,代入数据，得,例11 物块A和B的质量分别为m1、m2, 且 m1m2 , 分别系在绳索的两端, 绳跨过一定滑轮, 如图。滑轮的质量为m, 并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦, 绳与滑轮之间无相对滑动, 试求物块A的加速度和轴承O的约束反力。,解一: 取单个物体为研究对象。,解:分别以物块A、B和滑轮为研究对象, 受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程, 得,由以上方程联立求解得:,注意到,解二: 用动能定理和质心运动定理
5、。,解: 以整个系统为研究对象, 受力和运动分析如图。设 A下降高度h时速度为v ，系统动能为,所有力的功的代数和为,于是可得,将动能定理表达式两边同时对时间求导，得,由质心坐标公式,于是可得,解三: 用动量矩定理和质心运动定理(或动量定理)。,解: 以整个系统为研究对象, 受力如图, 运动分析如图。系统对定轴的动量矩为,然后按解二的方法即可求得轴承O的约束反力。,例12 均质细杆长为l, 质量为m, 静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰倒下时, 求杆刚到达地面时的角速度和地面约束力。,解: 由于地面光滑, 直杆沿水平方向不受力, 倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置 (与水平方向夹角
6、为q )时的角速度为,此时杆的动能为,初动能为零, 此过程只有重力作功, 由,A,C,q,当q0时解出,杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示, 由刚体平面运动微分方程, 得,杆作平面运动, 以A为基点, 则C点的加速度为,沿铅垂方向投影, 得,联立求解方程(1)(3), 得,例13 图示三棱柱体ABC的质量为m1, 放在光滑的水平面上, 可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为q, 求三棱柱体的加速度。,q,A,C,B,O,D,解: 整体系统在水平方向上受力为零, 所以系统的动量在水平方向上守恒。设某瞬时三棱柱的速度是v, 圆柱体的角速度是w。
7、求圆柱体的动量需要用O点的绝对速度, 可用点的复合运动知识求得:,取圆柱体中心O为动点, 动系与三棱柱固连, 则O点的速度分析如图(a)所示,(a),x,y,由动量守恒定理:,两边对时间t求导得,求出系统动量的水平分量:,O,D,欲求a需先求出a, 取圆柱体分析如图(c)所示, 由平面运动微分方程得,从中解出,x,y,代入(*)式得,例14 如图, 均质杆质量为m, 长为l, 可绕距端点l/3的转轴O转动, 求杆由水平位置静止开始转动到任一位置时的角速度、角加速度以及轴承O的约束反力。,杆作定轴转动, 转动到任一位置时的动能为,mg,解法1: 用动能定理求运动,w,以杆为研究对象。由于杆由水平
8、位置静止开始运动, 故开始的动能为零, 即,将前式两边对时间求导, 得,在此过程中所有的力所作的功为,解法2: 用微分方程求运动,C,O,由定轴转动微分方程,即,所以,得,即,又,所以,j,C,O,现在求约束反力。,质心加速度有切向和法向分量:,将其向直角坐标轴上投影得:,C,O,x,y,FOy,FOx,画受力图，由质心运动定理,得:,解得:,例 均质细杆AB长为l, 质量为m, 起初紧靠在铅垂墙壁上, 由于微小干扰, 杆绕B点倾倒如图。不计摩擦, 求:(1) B端未脱离墙时AB杆的角速度、角加速度及B处的反力;(2) B端脱离墙壁时的q 角;(3) 杆着落地时质心的速度及杆的角速度。,q,a
9、,w,B,C,A,mg,解: (1) B端未脱离墙之前AB杆作定轴转动,q,a,w,B,C,A,mg,两边对时间求导得,(2) 求B端脱离墙壁时的q 角,q,a,w,B,C,A,mg,FBy,FBx,y,x,或者, 因B端脱离墙壁前杆作定轴转动, 所以,根据质心运动微分方程maCxFx得,q,a,w,B,C,A,mg,FBy,FBx,当 B端脱离墙壁时FBx0, 即,从而有,或,其中第一个解q0无意义, 舍去。,a,w,q,B,C,A,(3) 求杆着地时质心的速度及杆的角速度,当B端脱离墙壁时杆作平面运动, 因为此时杆在水平方向上不受力, 所以质心C在水平方向上运动守恒, 也就是说质心C的速度在水平方向上的分量等于B端脱离墙壁时的值并保持不变。此时,mg,FBy,vC,杆直立时动能为零, 当B端脱离墙壁后的任一瞬时时的动能为,杆着地时q = 90, 动能为,由动能定理得,w,mg,FBy,q,B,C,A,vB,vCy,vCx,w,mg,FBy,q,B,C,A,vB,vCy,vCx,
