《函数展开成幂级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数展开成幂级数（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,114 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,泰勒级数、,函数展开成幂级数的步骤,定理、,麦克劳林级数,展开式的唯一性,函数ex 的幂级数展开,函数sin x 的幂级数展开,求幂级数展开式的间接展开法,幂级数展开式小结,一、泰勒级数,本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样 一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f(x) 如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数f(x)在该区间内能展开成幂级数,如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n1)的 阶导数，则当x 在(a，b)内时，f(x)可以表示为(xx0)的一个n次多 项式与一
2、个余项Rn(x)之和：,这里x是x0与x 之间的某个值,复习泰勒中值定理：,其中,如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f (x)，f (x)， ，f (n)(x )， ，则当n时，f(x)在点x0的泰勒多项式,泰勒级数：,成为幂级数,这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数 显然，当xx0时，f(x)的泰 勒级数收敛于f(x0),需回答的问题：,除了xx0外，f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛，它是否一 定收敛于f(x)?,定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在 该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的 余项Rn(x)当n时的极
3、限为零，即,证明 先证必要性设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数，即,因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x)，其中sn1(x)是f(x) 的泰勒级数的前n1项的和，又在U(x0)内有sn1(x) f(x)(n) 于是Rn(x) f(x) sn1(x)0(n)这就证明了条件是必要的,证明 再证充分性设R n(x)0(n)对一切xU(x0)成立,因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x)，于是 sn1(x)=f(x)R n(x)f(x) (n) ， 即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛，并且收敛于f(x),定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U
4、(x0)内具有各阶导数，则f(x)在 该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的 余项Rn(x)当n时的极限为零，即,在泰勒级数,麦克劳林级数：,此级数称为f(x)的麦克劳林级数,中取x00，得,事实上，如果f(x)在点x00的某邻域(R, R)内有幂级数展式 f(x)a0a1 x a2 x2 an xn ， 那么必有f (x)a12a2x3a3x2 nanxn1 ，f (x)2!a232a3x n(n1)anxn2 ，f (x)3!a3 n(n1)(n2)anxn3 ， f (n)(x) n!an (n1)n(n1) 2an1x ， 把 x=0代入以上各式，得,如果f(x
5、)能展开成x的幂级数，那么这种展式是唯一的，它一 定与f(x)的麦克劳林级数一致,展开式的唯一性：,如果f(x)能展开成x的幂级数，那么这个幂级数就是f(x)的麦克 劳林级数但是，反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻 域内收敛，它却不一定收敛于f(x)因此，如果f(x)在点x00处具 有各阶导数，则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来，但这个级数是 否在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察,应注意的问题：,二、函数展开成幂级数,第一步 求 f (x)，f (x)， ，f (n)(x)， 第二步 求 f (0)，f (0)， ，f (n)(0)， 第三步 写出幂级数,
6、函数展开成幂级数的步骤：,并求出收敛半径R,第四步 考察当x在区间(R，R)内时余项的极限,是否为零 如果为零，则在区间(R，R)内有,解 因为f (n)(x)e x (n1, 2, )，所以f (n)(0)1(n1, 2, ) 于是得级数,例1 将函数f(x)ex 展开成x的幂级数,它的收敛半径R对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间)，有,函数ex 的幂级数展开：,例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数,函数sin x 的幂级数展开：,环地取0，1，0，1， (n0, 1, 2, 3, )，于是得级数,它的收敛半径为R对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间)，有,因此得展开式,例3 将函数f(x)cos x 展开成x的幂级数,求幂级数展开式的间接展开法：,解 已知,对上式两边求导得,解 因为,把x换成x2，得,例5 将函数f(x)ln(1x) 展开成x的幂级数,所以交上式从0到x逐项积分，得,上述展开式对x1也成立，这是因为上式右端的幂级数当x1 时收敛，而ln(1x)在x1处有定义且连续,例6 将函数f(x)(1 x)m 展开成x的幂级数，其中m为任意常数,展开结果：,解 因为,并且有,所以,解 因为,(1x3),幂级数展开式小结,
