离散时间信号与离散时间系统

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1、,第二章 离散时间信号与离散时间系统 Discrete-Time Signals and Systems,课程名称：数字信号处理,任课教师：张培珍,授课班级：电子1091-1094,2.1 离散时间信号,1,2,4,5,3,2.5 综合实例,2.4 离散时间系统分析差分方程,2.3 离散时间系统,2.2 离散时间信号的运算,离散时间信号与离散时间系统,2,引言,时域连续信号如果信号的自变量和函数值都是连续的，称为时域连续信号. 离散时间信号如果信号的函数值连续，自变量为离散值，称为离散时间信号，又称为序列。,离散时间信号与离散时间系统,2,2.1 离散时间信号,离散时间信号的数学表示 离散时间

2、信号是对时域连续信号x(t)采样，若采样周期为T，则采样信号为：,简化为序列来表示，即,x(n)只在n为自然数时才有意义。 x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值。,注意,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号也可以用集合来表示，如,离散时间信号还可以使用图形表示，如,离散时间信号与离散时间系统,2,例：离散信号(序列)的表示,x k=1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3,离散时间信号与离散时间系统,2,2.1.2 典型的离散时间信号序列,单位阶跃序列 Unit step sequence 单位阶跃序列是单边序列,单位阶跃序列的图形表示,与u(t)相比较,离

3、散时间信号与离散时间系统,2,单位脉冲序列 Unit sample (impulse) sequence 单位脉冲序列(n)只有n=0时存在值，其它时刻均为0，,离散时间信号与离散时间系统,2,u(n)和(n) 关系,任意离散时间信号也可以用(n)及其移位信号加权和表示，即,离散时间信号与离散时间系统,2,例,f(n)=0, 1, 2, 1, 3, n=0,1,2,3,4,f(n)= (n-1)+2 (n-2)+ (n-3)+3 (n-4),离散时间信号与离散时间系统,2,1,2,1,3,矩形序列,三种序列之间的关系,矩形序列RN(n),离散时间信号与离散时间系统,2,斜变序列 斜变序列与连续

4、函数中的斜坡函数类似。但是却没有连续时间信号中斜坡函数同阶跃函数之间的微分关系。,图2.6 斜变序列x(n),离散时间信号与离散时间系统,2,实指数序列 Real-valued exponential sequence,其中a为实数。 当 时，序列是发散的。 当 时，序列是收敛的。=,x1(n)=1.25n (b) x2(n)=0.75n (c) x3(n)=(-1.25)n (d) x4(n)=(-0.75)n,离散时间信号与离散时间系统,2,复指数序列 Complex-valued exponential sequence,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,正

5、弦序列 Sinusoidal sequence 正弦序列是对连续正弦信号的采样，其数学表达式为,连续正弦信号是周期信号，但是正弦序列却不一定是周期序列。,思 考,判断 、 、 是否为周期函数？,离散时间信号与离散时间系统,2,正弦型序列 Sinusoidal sequence,其中，0为数字域角频率。单位是弧度。 数字角频率和模拟角频率的关系,如图：0=/8 T=16,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,2.2 离散时间信号的运算,加法 乘法 移位 翻转 尺度变化 x(an)为波形压缩 x(n/a)为波

6、形扩展,右移 左移,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,相加 Sum of sequence,相乘 Product of sequence,离散时间信号与离散时间系统,2,翻褶 Turnover of squence,移位Shift of squence,序列的相加和相乘： x1=0 1 2 3 4 3 2 1 0;ns1=-2; x2=2 2 0 0 0 -2 -2;ns2=2; nf1=ns1+length(x1)-1; nf2=ns2+length(x2)-1; ny=min(ns1,ns2):max(nf1,nf2); xa1=zeros(1,length(

7、ny); xa2=xa1; xa1(find(ny=ns1),离散时间信号与离散时间系统,2,subplot(2,2,1),stem(ny,xa1);ylabel(x1(n) subplot(2,2,3),stem(ny,xa2);ylabel(x2(n) subplot(2,2,2),stem(ny,ya);ylabel(x1(n)+x2(n) subplot(2,2,4),stem(ny,yb);ylabel(x1(n)*x2(n),例2.1 已知有序列x(n)和y(n)，如图2.10所示， 计算序列x(n)和y(n)间的运算：(1) 和序列z(n)；(2) 积序列R(n)；(3) 当m为

8、2时，x(n)的右移序列w(n)；(4) x(n)的翻转序列t(n)；(5) 当a为2时，x(n)的波形压缩x(an)。,图2.10 例2.1图,离散时间信号与离散时间系统,2,解： (1) 和序列z(n)= 3, 1, 6, 1, 1, 5，如图(a)所示；(2) 积序列R(n) = 2, -2, 8, 0, 0, 6，如图(b)所示；(3) 当m为2时，x(n)的右移序列w(n) = 2, -1, 2, 0, 1, 3，如图(c)所示；,离散时间信号与离散时间系统,2,(4) x(n)的翻转序列t(n) = 3, 1, 0, 2, -1, 2，如图(d)所示； (5) 当a为2时， x(a

9、n)=2, 2, 1， x(n)的波形压缩x(an) 如图(e)所示。,离散时间信号与离散时间系统,2,卷积 Convolution of sequences 设序列x(n)和h(n)，其卷积和y(n)定义为 卷积和计算分为四个步骤：即折迭(翻褶)、位移、相乘和相加。,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,结论：长度分别为N1，N2两个序列的线形卷积结果序列长度为N1+N2-1,离散时间信号与离散时间系统,2,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=3,f(6)=1,f(7)=-1,f(8)=-3,f(9)=-5,f(10)=-

10、4,f(11)=-3,f(12)=-2,f(13)=-1,离散时间信号与离散时间系统,2,2.3 离散时间系统 Discrete-Time Systems,设离散时间系统的输入序列为x(n)，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示y(n)=Tx(n)，其框图如图2.12所示。,图2.12 输出与输入之间的关系,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间系统的线性 线性系统满足叠加性和齐次性。,叠加性y1(n) + y2(n) = Tx1(n) + Tx2(n) = Tx1(n)+x2(n) 齐次性 ay1(n) = aTx1(n) = Tax1(n) ay2

11、(n) = aTx2(n) = Tax2(n) 线性 y (n) = Tax1(n) + bx2(n) = ay1(n) + by2(n) （其中a和均为常数）,假设系统的输入序列为x1(n)和x2(n)，输出序列对应为y1(n)和y2(n)，则有y1 (n)=Tx1(n)和y2(n)=Tx2(n)成立。,离散时间信号与离散时间系统,2,例2.2 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，判断系统 y(n) = 2x(n) + 3是否是线性的。,解 令y1(n) = 2x1(n) + 3和y2(n) = 2x2(n) + 3。对于线性系统，根据叠加性，有 y(n) = Tx1(n) + x2

12、(n) = 2Tx1(n) + x2(n) + 3 = 2x1(n) + 2x2(n) + 3 然而 y1(n) + y2(n) = 2x1(n) + 3 + 2x2(n) + 3 = 2x1(n) + 2x2(n) + 6 因此，y(n) y1(n) + y2(n)，故该系统不是线性的。,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间系统的时不变性 若输入为x(n)，输出为y(n)，则当输入为x(n-n0)时，输出为y(n-n0)。,即，若时不变系统有y(n)=T x(n)，则y(n-n0) =Tx(n-n0) ， 其中n0为任意整数。,离散时间信号与离散时间系统,2,例2.3 x(n)和y(n)

13、分别表示系统的输入和输出，系统y(n) = 2x(n) + 3是否是时不变的。,离散时间信号与离散时间系统,2,解 :系统y(n) = 2x(n) + 3，由于 y(n-n0) = 2x(n-n0) + 3 = Tx(n-n0) 故该系统是时不变的。,离散时间信号与离散时间系统,2,例2.4 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n) = x(n) cos(n+1)是不是时不变的。,解 : y(n-n0) = x(n-n0) cos(n-n0)+1Tx(n-n0) = x(n-n0) cosn+1 因此，y(n-n0) Tx(n-n0)，故该系统不是时不变的。,离散时间信号与离散

14、时间系统,2,离散时间系统的因果性和稳定性 因果系统(causality system)，是指某时刻的输出只取决于此刻以及该时刻以前时刻的输入的系统。 即，y(n)|n=n0取决于nn0的输入x(n)|n n0 例如 y(n) = x(-n)是非因果系统，因n0的输出决定于n0时的输入。 线性时不变系统是因果系统的充要条件为h(n)=0，n0。,离散时间信号与离散时间系统,2,离散时间信号与离散时间系统,2,几点说明：实际系统一般是因果系统。(1) 图像、已记录数据处理以及做平滑处理的系统不是因果系统。 在判断时必须把输入信号的影响与系统中定义的其他函数区分开来，如y(n)=x(n)sin(n

15、+2)是(因果)系统 在判断时必须考虑全部时间变量如 y(n)=x(n-k) 是(有条件因果)系统,离散时间信号与离散时间系统,2,系统系统（ stability system） 线性时不变系统是稳定系统的充要条件是即单位脉冲响应序列绝对可和。,离散时间信号与离散时间系统,2,所谓稳定系统，是指有界的输入产生有界的输出的系统。即，若 | x(n)| M ，则 | y(n)| P ,例2.5 某线性时不变系统，其单位脉冲响应为 ，试讨论其是否是因果的、稳定的系统。,解 (1) 因为 时， ，所以该系统是非因果系统。(2) 因为 ，所以当 时系统稳定，当 时系统不稳定。,离散时间信号与离散时间系统,2,作业（2班3，4号）： 证明：线性时不变系统是稳定系统的充要条件是 作业（4班3，4号）： 设系统的单位脉冲响应： h(n)=u(n)，对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，检验系统的因果性和稳定性,