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1、第五章 极限定理,下面的强大数定律将(2.1)进行了推广.,5.2 大数律,称随机变量的序列 为随机序列(random sequence).,其含义是n很大时, 与 有非零差距的可能性很小。,通常把类似于2.5的结论称为弱大数律 (weak law of large numbers).,由切比雪夫不等式得：,证明：,例1.（接4.1 的例1.4 ) 在赌对子时, 甲每次下注100元. 如果他连续 下注n次, 证明他的盈利Sn满足,和定理2.1得到, n 时，,P(Sn 18n) P(| | 0.6),于是，,P(Sn 18n) = 1 P(Sn 18n) 1,说明下注的次数n越多, 至少输18
2、n元的概率越大。,类似于(2.6)的结果称为强大数律 (strong law of large numbers). 从强大数律结论(2.6)知道概率的频率定义是合理的。,强大数律结论比弱大数律结论要强:,证明：设 p 是任意小的正数,事件A1,A2相互独立, P(Ai)= p.用 IAi 表示Ai的示性函数，则 IAi 独立同分布.由强大数律得到：,所以,说明有无穷个Ai发生的概率是1.,例2.,在多次独立重复试验过程中,小概率事件必然发生.,5.3 中心极限定理,强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和的依概率收敛和以概率1收敛.,中心极限定理讨论对充分大的n, 随机变量序列部分和 X1+
3、X2+ +Xn 的概率分布问题.,令 Sn = X1 + X2 + + Xn,则Sn为n次独立试验中成功的次数,Sn B(n,p)。,从演示看出 时,Sn的分布形状很象正态分布。,例3. 二项分布,则Xj iid B(1,p)(两点分布)。,独立地重复某一试验，设,若 Xj iid P( ), 则由3.4的例4.1知道部分和,例4. Poisson(泊松)分布,从演示看出 时,Sn的分布形状很象正态分布。,例5.几何分布部分和设Xj独立同分布都服从几何分布,上述分布称为帕斯卡分布.,可以将 Sn = X1 + X2 + + Xn 设想成第n次击中目标时的射击次数(参考几何分布的背景),于是得到
4、,从演示看出 时,Sn的分布形状很象正态分布。,注：得到第n次成功前失败的次数Y的分布称为负二项分布，易见,且Sn = Y + n.,定理3.1（中心极限定理）,我们把结论(3.2)记成 , 其中的d表示依分布收敛.,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,中心极限定理的应用可以用 N(0,1) 近似计算关于 的概率，用N( n , n 2) 近似计算关于 Sn 的概率。,例6. 近似计算,当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴(mr)时,辐射会对人的健康造成伤害.
5、设一台彩电工作时的平均辐射强度是0.036(mr/h), 方差是0.0081. 则家庭中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害. 但是彩电销售店同时有多台彩电同时工作时,辐射可能对人造成健康伤害. 现在有16台彩电同时工作,问这 16 台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率.,例6. (续),近似服从N(0,1)分布, 于是,解: 用Xi表示第i台彩电的辐射量(mr/h), 则Xi 的数学期望 =0.036,方差 =0.0081.Sn=X1+X2+ +X16 是n=16台彩电的辐射量. 题目要求P(Sn 0.5).认为Xi独立同分布时, 按照定理3.1,例6. (续),这16台彩电以大约58
6、%的概率会对人造成健康 伤害.,例7 一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记,二项分布的正态近似,推论3.3.设Sn B(n,p), p=1-q (0,1), 则,由定理3.1结论成立,例8,设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。,解：设 Sn是损坏的部件数，则 SnB(100,0.1)。 则整个系统能正常工作当且仅当 Sn 15.,由推论3.3得,例9 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假
7、定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：设有Sn部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。,由推论3.3得,由题意有,例9 （续）,例10. 用正态分布计算二项分布,设Sn B(n,p), 则Sn近似 N(np, npq)分布, 设X N(np,npq), 设a, b为非负整数。由中心极限定理, n 较大时,但是注意Sn是取整数值的，所以,上式右端用正态近似和(*)不同。,例10.(续),为此取折衷，令,称为连续性校正。此近似公式应在 n 充分大时使用，实际规则可以用 min(np,nq)5。,例10.(续),特别地，,某药厂试制了一种新药, 声称对贫血的治疗有效率达到80%. 医药监管部门准备对100个贫血患者进行此药的疗效试验,若这100人中至少有75人用药有效, 就批准此药的生产. 如果该药的有效率确实达到 80%, 此药被批准生产的概率是多少?,解:用 Sn表示这n (=100)个患者中用药后有效的人数. 如果该药的有效率确实是 p=80%, 则 Sn B(n,p). 由 100p=805, 100(1-p)=205, 知道可用近似公式(3.4) .于是,例11.,例11.(续）,如果有效率p80%, 则获得批准的概率92% (参考习题7.29).,
