《2013年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题(含答案)（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 （第 3 题）中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报数学周报杯杯”2013”2013 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分分. 以下每道小题均给出了代号为以下每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都不填、多填或错填都得得 0 分）分）1已知实数满足 ，则的值为（ ）xy，42 42
2、4233yyxx，4 44yx（A）7 （B） （C） （D）5113 2713 22把一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次，若两个正面朝上的编号分别为 m，n，则二次函数的图象与 x 轴有两个不同2yxmxn交点的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）5 124 917 361 23有两个同心圆，大圆周上有 4 个不同的点，小圆周上有 2 个不同的点，则这 6 个点可以确定的不同直线最少有( )（A）6 条 （B） 8 条 （C）10 条 （D）12 条4已知是半径为 1 的圆的一条弦，且以为一边在圆内作正，点ABO1ABaABOABC为圆
3、上不同于点 A 的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ DODBABaDCOEAE）（A） （B）1 （C） （D）a5 2a3 25将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）（第 4 题） 2 （A）2 种 （B）3 种 （C）4 种 （D）5 种二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分）分）6对于实数 u，v，定义一种运算“*”为：若关于 x 的方程有两个不同u vuvv 1()4xax 的实数根，则满足条件的实数 a 的取值范围是
4、7小王沿街匀速行走，发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车，每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18路公交车假设每辆 18 路公交车行驶速度相同，而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟8如图，在中，AB=7，AC=11，点 M 是 BC 的中点，ABCAD 是BAC 的平分线，MFAD，则 FC 的长为 9ABC 中，AB7，BC8，CA9，过ABC 的内切圆圆心 I 作 DEBC，分别与 AB，AC 相交于点 D，E，则 DE 的长为 10关于 x，y 的方程的所有正整数解为 22208()xyxy三、解答题（共三、解答题（共 4 题，每题题，每题 15
5、 分，满分分，满分 60 分）分）11在直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于 A，Bbkxy0k （）xy两点，且使得OAB 的面积值等于3OAOB（1）用 b 表示 k；（2）求OAB 面积的最小值 （第 8 题答案） 3 12是否存在质数 p，q，使得关于 x 的一元二次方程有有理数根？ 20pxqxp13是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的ABC？证明你的结论14从 1，2，9 中任取 n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被 10 整除，求 n 的最小值 4 5 中国教育学会中学数学教学
6、专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报数学周报杯杯”2013”2013 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题一一二二三三题题 号号156101112 1314总总 分分得得 分分评卷人评卷人复查人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答. 2解答书写时不要超过装订线. 3草稿纸不上交. 一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分分. 以下每道小题均给出了代号为以下每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四的四 个选项，其中有且只有一个选项是正确的个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里请将
7、正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都不填、多填或错填都 得得 0 分）分）1已知实数满足 ，则的值为（ ）xy，42 424233yyxx，4 44yx（A）7 （B） （C） （D）5113 2713 2【答】（A）解：解：因为，0，由已知条件得20x 2y， ，21244 4 3113 84x 2114 3113 22y 所以 74 44yx2 2233yx 2 226yx另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为2 222222()()30()30xx yy 2 22yx2 22, yx，所以 230tt 22 2222()1,()3yyxx 故4 44yx2222
8、2222()2()( 1)2( 3)7yyxx 2把一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次，若两个正面朝上的编号分别为 m，n，则二次函数的图象与 x 轴有两个不同2yxmxn交点的概率是（ ） 6 （第 3 题）FE DCOAB（A） （B） （C） （D）5 124 917 361 2【答】（C）解：解：基本事件总数有 6636，即可以得到 36 个二次函数. 由题意知0，即4.24mn2mn通过枚举知，满足条件的有 17 对. 故.mn，17 36P 3有两个同心圆，大圆周上有 4 个不同的点，小圆周上有 2 个不同的点，则这 6 个点可以确
9、定的不 同直线最少有( )（A）6 条 （B） 8 条 （C）10 条 （D）12 条 【答】（B） 解：解：如图，大圆周上有 4 个不同的点 A，B，C，D，两两连线可以确定6 条不同的直线；小圆周上的两个点 E，F 中，至少有一个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点， 则它与 A，B，C，D 的连线中，至少有两条不同于 A，B，C，D 的两两连线从而这 6 个点可以确定的直 线不少于 8 条 当这 6 个点如图所示放置时，恰好可以确定 8 条直线 所以，满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条4已知是半径为 1 的圆的一条弦，且以为一边在圆内作正，点ABO1ABa
10、ABOABC 为圆上不同于点 A 的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ DODBABaDCOEAE ）（A） （B）1 （C） （D）a5 2a3 2【答】（B）解：解：如图，连接 OE，OA，OB 设，则 D 120ECAEAC 又因为，1160180222ABOABD120所以，于是ACEABO1AEOA 另解：如图，作直径 EF，连结 AF，以点 B 为圆心，AB 为半径 作B，因为 ABBCBD，则点 A，C，D 都在B 上，由11603022FEDACBA 所以2301AEEFsim Fsim（第 4 题） 7 （第 8 题）5将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个
11、数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都 能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ） （A）2 种 （B）3 种 （C）4 种 （D）5 种 【答】（D）解：解：设是 1，2，3，4，5 的一个满足要求的排列12345aaaaa，首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件1234aaaa，矛盾又如果（1i3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个ia1ia2ia以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下 5 种情形满足条件：12345aaaaa，2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1；
12、2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分）分）6对于实数 u，v，定义一种运算“*”为：若关于 x 的方程有两个不同u vuvv 1()4xax 的实数根，则满足条件的实数 a 的取值范围是 【答】，或0a 1a 解：解：由，得，1()4xax 21(1)(1)04axax依题意有 210(1)(1)0aaa ，解得，或0a 1a 7小王沿街匀速行走，发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车，每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车假设每辆 18 路公交车行驶速度相同，
13、而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车 间隔的时间是 分钟 【答】4 解：解：设 18 路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为xy 米s每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车，则 syx66每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车，则 syx33由，可得 ，所以 xs44xs即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟8如图，在中，AB=7，AC=11，点 M 是 BC 的中点，ABCAD 是BAC 的平分线，MFAD，则 FC 的长为 【答】9 解：解：如图，设点 N 是 AC 的中点，连接 MN，则 MNAB（第 8 题答案
14、） 8 （第 9 题答案）NEFMDBCA又，所以 ，/MFADFMNBADDACMFN 所以 1 2FNMNAB因此 911 22FCFNNCABAC另解：如图，过点 C 作 AD 的平行线交 BA 的延长线为 E，延长 MF 交 AE 于点 N.则EBADDACACE 所以. 又，所以四边形是等腰梯形，11AEAC/FNCECENF即11(711)922CFENBE9ABC 中，AB7，BC8，CA9，过ABC 的内切圆圆心 I 作 DEBC，分别与 AB，AC 相交于 点 D，E，则 DE 的长为 【答】16 3 解：解：如图，设ABC 的三边长为 a，b，c，内切圆 I 的半径为 r，BC 边上的高为，则ah， 11()22aABCahSabc r所以 ara h
