全等三角形拓展题---尖子生专用

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1、 全等三角形综合应用 知识点： 1、全等三角形的判定方法： 2、角平分线的性质与判定： 例题讲解 2016 武汉江汉区压轴题 （本题 12 分）ABC 是等腰三角形，ABAC，AD 是ABC 的中线， 以 AC 为边作等边ACE，BE 分别与直线 AD、AC 交于点 F、G，连接 CF (1) 如图 1，若ABC、ACE 位于 AC 异侧，求EFC 的度数 试判断线段 EF、DF、AF 之间的数量关系，并说明理由 (2) 若ABC、ACE 位于 AC 同侧，试完成备用图，并直接写出线段 EF、DF、AF 之间的数量关 系 解：(1) ABAE，设ABEAEB ABAC，AD 是ABC 的中线

2、设BADCAD 又 2260180，60 AFEDFC60 EFC180606060 过点 C 作 CHBE 于 H AEBAEC60，ABEBAD60 BADHEC 可证：ABDEHC（AAS） HEAD 易证：CFHCFD（AAS） FHDF EFFHAFDF 即 EFAF2DF (3) 作图、证明的过程一样 AFEF2DF 2016 武珞路中学 （本题 10 分）已知等边三角形 ABC，M 为 AB 上的一点，以 CM 为边作等边 CMN，连接 BN (1) 求证：AMBN (2) 作 MHBC 于 H，连接 AH若 AHMN，AM1，求 CH 的长 证明证明：(1) ACMBCN（SA

3、S） (2) 由(1)知：ACMBCN CBNMAC60 MBN6060120 过点 M 作 MDBC 交 AC 于 D AMD 为等边三角形 AMADBN，ADM60 BMCD，MDC120 在BMN 和DCM 中 DMBN CDMMBN DCBM BMNDCM（SAS） BMNDCM AHMN BMNBAHDCM 在BAH 和ACM 中 ACMBAH CAAB CAMABH BAHACM（ASA） BHAM1 BMHC MHBC，MBH60 BM2BH2 CH2 2016 武珞路中学 （本题 10 分）如图 1，已知等腰ABC 中，ABAC，AD 为 BC 边上的中线， 以 AB 为边向外

4、作等边ABE，直线 CE 与直线 AD 交于点 F (1) 若 AF10，DF3，试求 EF 的长 (2) 若以 AB 为边向内作等边ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图 2（保留作图痕 迹） ，找出 EF、AF、DF 三者的数量关系，并证明你的结论 解解：(1) 设BADCAD，AECACE 在ACE 中，2602180，60 连接 BF BFDCFD60 BFCF2DF6 在 EC 上截取 EGCF，连接 AG AEGACF（SAS） EAGCAF，AGAF GAF60 AFG 为等边三角形 EFEGGFAFFC10616 (2) 尺规作图：先作 AB 的垂直平分线，再利用半径得到

5、等边 设BADCAD，ACEAEC CAE1802 BAE2180260，60 BADBEF 在 AF 上截取 AGEF，连接 BG 可知：ABGEBF（SAS） AGEF，BGBF BFG 为等边三角形 AFAGGFBFEF2DFEF 武汉二中广雅中学 2016 （本题 12 分）在ABC 中，ABAC，BAC（060） ，以线段 BC 为边在ABC 内作等边DBC (1) 如图 1，ABD_（用含 的式子表示） (2) 如图 2，BCE150，ABE60，判断ABE 的形状并加以证明 (3) 在(2)的条件下，连接 DE，若DEC45，求 的值 例 1、 （1）在ABC 中，B=C，与AB

6、C 全等的三角形有一个角是 130，那么ABC 中与这个角对应的角是（ ）A、A B、B C、C D、B 或C （2）如图 1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识， 画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A、SSS B、SAS C、AAS D、ASA （3）如图 2，AD 平分BAC，BFAD 于 D，交 AC 于 F，DEAC， BAD=30，则BDE=_ 例 2、如图 3，OM 平分 AOB，AO=OB，AD 与 BC 相交于 M。求证：AC=BD 例 3、如图 4，在ABC 中，B=C，D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，且

7、BD=CE， DEF=B。 求证：ED=EF 例 4、如图 5，ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，且 BD=CF，BE=CD，G 是 EF 的中点。 求证：DGEF 例 5、如图 6，ABC=90，AB=BC，D 为 AC 上一点，分别过 C、A 作 BD 的垂线，垂足分 别为 E、F 求证：EF=CE-AF 例 6、如图 7，P 为AOB 平分线上一点，PCOA 于 C，OAP+OBP=180，若 OC=4cm。 求 OA+OB 的值。 例 7、如图 8，ADBC，1=2，3=4，点 E 在线段 DC 上。 求证：AD+BC=AB 例 8、如图 9，1=2

8、，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，AB+BC=2BD。 求证：BPA+BCP=180 巩固： 1、如图，点 P 为AEF 外一点，PA 平分EAF，PDEF 于 D，DE=DF，PBAE 于 B。 求证：AF-AB=BE 2、如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CA 平分BCD，AEBC 于 E，AFCD 交 CD 延长线 于 F 求证：BE=DF 3、如图，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE 交于点 H，连 CH。 （1）求证：ACDBCE； （2）求证：CH 平分AHE； （3）求CHE 的度数（用含 的式子表示） 4、如图（1） ，在ABC 中，BAC

9、=90，AB=AC，AE 是过点 A 的一条直线，且点 B、C 在 AE 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E （1）试说明：BD=DE+CE （2）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（2）位置时（BDCE） ，其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？请直接写出结果； （3）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（3）位置时（BDCE） ，其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由 5、如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90 （1）当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系

10、？直接写出 你猜想的结论； （2）将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（090） ，如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由 6、如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（2，2） ，点 A 为 y 轴正半轴上一动点，过 B 点作 BCAB 交 x 轴的正半轴于点 C。 （1）求证：BA=BC； （2）当点 A 运动时，OA+OC 的值是否发生变化，若不变， 求其值；若发生变化，求变化范围 7、已知四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN 绕 B 点旋转，它的 两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F （1）当MBN

11、 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1） ，求证 AE+CF=EF； （2）当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并证明 8、已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E， 与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G （1）求证：BF=AC； （2）求证：CE=BF； 2 1 （3）若把题目中“BE 平分ABC”改为“BE 平分线段 DC” ， 其他条

12、件不变，连接 HF求证：HF=AD 9、直线 CD 经过BCA 的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线 CD 上两点，且 BEC=CFA= （1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若BCA=90，=90，则 EF_ |BE-AF|（填“” ， “”或“=” 号） ； 如图 2，若 0BCA180，若使中的结论仍然成立，则 与BCA 应满足 的关系是_ ； （2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请探究 EF、与 BE、AF 三条线 段的数量关系，并给予证明 第十一讲：全等三角形综合二 知识点： 1、全等三角形的

13、判定及性质： 2、角平分线的性质与判定： 3、常用辅助线： 例题讲解 例 1、如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分BAC，交 CD 于 K，交 BC 于 E，F 是 BE 上一点，且 BF=CE， 求证：FKAB 例 2、如图 1，ABC 中，BAC=90，BA=AC， （1）D 为 AC 的中点，连 BD，过 A 点作 AEBD 于 E 点，交 BC 于 F 点，连 DF，求证： ADB=CDF （2）若 D，M 为 AC 上的三等分点，如图 2，连 BD，过 A 作 AEBD 于点 E，交 BC 于点 F， 连 MF，判断 ADB 与CMF 的大小关系并证明

14、 例 3、如图，在ABC 中，C=90，M 为 AB 的中点，DMAB，CD 平分ACB， 求证：MD=AM 例 4、在ABC 中，ACB 为锐角，动点 D（异于点 B）在射线 BC 上，连接 AD，以 AD 为 边在 AD 的右侧作正方形 ADEF，连接 CF （1）若 AB=AC，BAC=90那么 如图一，当点 D 在线段 BC 上时，线段 CF 与 BD 之间的位置、大小关系是_ （直接写出结论） 如图二，当点 D 在线段 BC 的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由 （2）若 ABAC，BAC90点 D 在线段 BC 上，那么当ACB 等于多少度时？线段 CF 与 BD 之间的位置关系仍然成立请画出相应图形，并说明理由 例 5、如图所示，已知 A，B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别以 AC、BC 为直角边向ABC 外作等腰直角CAD 和等腰直角CBE，满足 CAD=CBE=90，过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1 （1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时，试说明 DD1=AB； （2）在图中，当 D