二次函数与图像压轴题及参考 答案

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1、联考数学试卷第 1 页 （共 12 页） 二次函数与图像二次函数与图像 1 1、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于AB、两点，D为抛物线的 顶点，O为坐标原点若OAOB OAOB、（）的长分别是方程 2 430xx的两根，且 45DAB （1）求抛物线对应的二次函数解析式； （2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分 别为 12 dd、，试求 12 dd+的最大值 联考数学试卷第 2 页 （共 12 页） 2、如图所示，已知抛物线与轴交于 A、B 两点，与轴交于点 C 2 1yxxy

2、 （1）求 A、B、C 三点的坐标 （2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG轴于点 G，使以xx A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说 明理由 E C B y P Ao x 联考数学试卷第 3 页 （共 12 页） 3 3、已知抛物线与 x 轴交于不同的两点)0( 2 acbxaxy A（x1，0）和 B（x2，0） ，与 y 轴的正半轴交于点 C。如果 是方程 21 xx 、 的两个根（） ，且ABC 的面积为。06 2 xx 21 xx 2 15 （

3、1）求此抛物线的解析式； （2）求直线 AC 和 BC 的解析式； （3）如果 P 是线段 AC 上的一个动点（不与点 A、C 重合） ，过点 P 作直 线（m 为常数） ，与直线 BC 交于点 Q，则在 x 轴上是否存在点 R，使my 得以 PQ 为一腰的PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点 R 的坐标；若 不存在，请说明理由。 4如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴分别相交于点 A（2，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于点 1 2 联考数学试卷第 4 页 （共 12 页） C，顶点为点 P. （1）求抛物线的解析式； （2）动点 M、N 从点 O 同时出发，都以每秒 1

4、个单位长度的速度分别在线段 OB、OC 上 向点 B、C 方向运动，过点 M 作 x 轴的垂线交 BC 于点 F，交抛物线于点 H. 当四边形 OMHN 为矩形时，求点 H 的坐标； 是否存在这样的点 F，使PFB 为直角三角形？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由。 O H F P M N C BA y x 联考数学试卷第 5 页 （共 12 页） 二次函数与图像答案二次函数与图像答案 1 1、如图 1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于AB、两点，D为抛物线 的顶点，O为坐标原点若OAOB OAOB、（）的长分别是方程 2 430xx的两根， 且45DAB （1）

5、求抛物线对应的二次函数解析式； （2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分 别为 12 dd、，试求 12 dd+的 最大值 解：解：（1）解方程 2 430xx得 13xx或，而OAOB， 则点A的坐标为( 10) ，点 B的坐标为(3 0)， 过点D作 1 DDx轴于 1 D，则 1 D为AB的中点 1 D的坐标为(10)， 又因为 11 452DABADDD， D的坐标为(12)， 令抛物线对应的二次函数解析式为 2 (1)2ya x 抛物线过点( 10)A ， 则042a ，得 1 2 a 故

6、抛物线对应的二次函数解析式为 2 1 (1)2 2 yx （或写成 2 13 22 yxx） （2）90CAADDAC， 又 1 4545DABCAD， 令点C的坐标为()mn，则有1mn 联考数学试卷第 6 页 （共 12 页） 点C在抛物线上， 2 1 (1)2 2 nm 化简得 2 450mm 解得51mm ，（舍去） 故点C的坐标为(5 6)， （3）由（2）知6 2AC ，而2 2AD ， 22 4 5DCADAC 过A作AMCD 11 22 ACADDCAM， 246 5 54 5 AM ADCAPDAPC SSS ， 12 111 222 ACADAPdAPd 12 24245

7、244 5 6 5 dd APAM 即此时 12 dd的最大值为4 5 2、如图所示，已知抛物线与轴交于 A、B 两点，与轴交于点 C 2 1yxxy （1）求 A、B、C 三点的坐标 （2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG轴于点 G，使以xx A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说 明理由 解：解：（1）令0y ，得 2 10x 解得1x 令0x ，得1y A( 1,0) B(1,0) C(0, 1) （2）OA=OB=OC=1 BAC=ACO=BCO

8、=45 APCB， PAB=45 过点 P 作 PEx轴于 E，则APE 为等腰 直角三角形，令 OE=a，则 PE=1a 图 1 E C B y P Ao x 联考数学试卷第 7 页 （共 12 页） P( ,1)a a 点 P 在抛物线 2 1yx上 2 11aa 解得 1 2a ， 2 1a （不合题意，舍去） PE=3 四边形 ACBP 的面积S= 1 2 ABOC+ 1 2 ABPE = 11 2 12 34 22 (3) 假设存在 PAB=BAC =45 PAAC MGx轴于点 G， MGA=PAC =90 在 RtAOC 中，OA=OC=1 AC=2 在 RtPAE 中，AE=P

9、E=3 AP= 3 2 设 M 点的横坐标为m，则 M 2 ( ,1)m m 点 M 在y轴左侧时，则1m () 当AMG PCA 时，有 AG PA = MG CA AG=1m，MG= 2 1m 即 2 11 3 22 mm 解得 1 1m （舍去） 2 2 3 m （舍去） () 当MAG PCA 时有 AG CA = MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得：1m （舍去） 2 2m M( 2,3) 点 M 在y轴右侧时，则1m () 当AMG PCA 时有 AG PA = MG CA AG=1m，MG= 2 1m G M 图 3 C B y P Ao x G M 图 2 C B

10、y P Ao x 联考数学试卷第 8 页 （共 12 页） 2 11 3 22 mm 解得 1 1m （舍去） 2 4 3 m M 4 7 ( , ) 3 9 () 当MAGPCA 时有 AG CA = MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得： 1 1m （舍去） 2 4m M(4,15) 存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似 M 点的坐标为( 2,3)， 4 7 ( , ) 3 9 ，(4,15) 3 3、已知抛物线与 x 轴交于不同的两点)0( 2 acbxaxy A（x1，0）和 B（x2，0） ，与 y 轴的正半轴交于点 C。如果 是方程 21 xx

11、、 的两个根（） ，且ABC 的面积为。06 2 xx 21 xx 2 15 （1）求此抛物线的解析式； （2）求直线 AC 和 BC 的解析式； （3）如果 P 是线段 AC 上的一个动点（不与点 A、C 重合） ，过点 P 作直 线（m 为常数） ，与直线 BC 交于点 Q，则在 x 轴上是否存在点 R，使my 得以 PQ 为一腰的PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点 R 的坐标；若 不存在，请说明理由。 解：解：（1）解方程，得06 2 xx32 21 xx， A（-2，0） ，B（3，0） 由抛物线与 y 轴的正半轴交于点 C， C（0，c）且 c0 5| 2 15 | 2 1 A

12、BcABS ABC ， 联考数学试卷第 9 页 （共 12 页） 即 c=3，C（0，3） 2 15 5 2 1 c 将 A、B、C 三点的坐标代入抛物线中，得cbxaxy 2 解得 3 033 0)2()2( 2 2 c cba cba 3 2 1 2 1 c b a 抛物线的解析式是3 2 1 2 1 2 xxy （2）设直线 AC 的解析式为)0( 111 kbxky 点 A（-2，0） ，C（0，3）在直线 AC 上， 解得 3 02 1 11 b bk 3 2 3 1 1 b k 直线 AC 的解析式为3 2 3 xy 设直线 BC 的解析式为)0( 222 kbxky 点 B（3，

13、0） ，C（0，3）在直线 BC 上 解得 3 03 2 22 b bk 3 1 2 2 b k 直线 BC 的解析式为3xy （3）假设存在满足条件的点 R，并设直线 y=m 与 y 轴的交点为 E（0，m） 由（1） ，知|AB|=5，|OC|=3 点 P 不与点 A、C 重合 点 E（0，m）不与点 O、C 重合 0m3 由于 PQ 为等腰直角三角形 PQR 的一腰，过点 P 作 PR1x 轴于点 R1， 联考数学试卷第 10 页 （共 12 页） 则R1PQ=90，|PQ|=|PR1|=|OE|=m PQ/AB，CPQCAB ，即 | | | | OC EC AB PQ 3 3 5 m

14、m 解得 8 15 m) 8 15 () 8 15 (， QP xQxP 点 P 在直线 AC 上， 8 15 3 2 3 P x 解得 点) 8 15 4 3 ( 4 3 ，PxP)0 4 3 ( 1 ，R 过点 Q 作轴于 R2，则R2QR=90xQR 2 同理可求得 点) 8 15 8 9 ( 8 9 ，QxQ)0 8 9 ( 2 ，R 验证：， 8 15 ) 4 3 ( 8 9 |PQ 8 15 | 8 15 0| 1 PR 又90| 11 PQRPRPQ， 8 15 | 8 15 0| 2 QR 90| 22 QPRQRPQ， 是满足条件的点)0 8 9 ()0 4 3 ( 21 ，、，RR 4如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴分别相交于点 A（2，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于点 1 2 C，顶点为点 P. （1）求抛物线的解析式； （2）动点 M、N 从点 O 同时出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别在线段 OB、OC 上 向点