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1、姓名：雷锋 答: (1) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是， 0 0 y x 0 0 y x 故（0，0）点为微分方程的平衡点； y dt dy x dt dx 在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的 y dt dy x dt dx yaxa dt dy yaxa dt dx 2221 1211 稳定性，将线性方程组写成，其中，Ax dt dx T dt dy dt dx dt dx ),( T yxx),( ，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。 22 12 21 11 a a a a A0)det(A 设，可知特征值， 2 ）1-（)-det(A1 21
2、由于,将计算结果对照课件中表 2.1（平衡点与稳定性的各种情况） ，可2p1q 知（0，0）点是不稳定的。 绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示： (2) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是 02 0- y x ，故（0，0）点为微分方程的平衡点； 0 0 y x y dt dy x dt dx 2 - 在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组 y dt dy x dt dx 2 的稳定性，将线性方程组写成，其中 yaxa dt dy yaxa dt dx 2221 1211 Ax dt dx ，因为，故 T dt dy dt dx d
3、t dx ),( T yxx),( 22 12 21 11 a a a a A0)det(A （0，0）是其唯一平衡点。 设，可知特征值，)2(）1（)-det(A2; 1 21 由于,将计算结果对照课件中表 2.1（平衡点与稳定性的各种情况） ，1p-2q 可知（0，0）点是不稳定的。 绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示： (3) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是 02 0y x ，故（0，0）点为微分方程的平衡点； 0 0 y x x dt dy y dt dx 2 在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组 x dt dy y
4、dt dx 2 的稳定性，将线性方程组写成，其中 yaxa dt dy yaxa dt dx 2221 1211 Ax dt dx ，因为，故 T dt dy dt dx dt dx ),( T yxx),( 22 12 21 11 a a a a A0)det(A （0，0）是其唯一平衡点。 设，可知特征值，2)-det( 2 Ai2 21 由于,将计算结果对照课件中表 2.1（平衡点与稳定性的各种情况） ，可0p2q 知（0，0）点是不稳定的。 绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示： (4) 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是 02 0
5、 y x ，故（0，0）点为微分方程的平衡点； 0 0 y x y dt dy x dt dx 2 在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组 y dt dy x dt dx -2 - 的稳定性，将线性方程组写成，其中 yaxa dt dy yaxa dt dx 2221 1211 Ax dt dx ，因为，故 T dt dy dt dx dt dx ),( T yxx),( 22 12 21 11 a a a a A0)det(A （0，0）是其唯一平衡点。 设，可知特征值，）2（）1（)-det(A-2；-1 21 由于,将计算结果对照课件中表 2.1（平衡点与稳定性的各种情况） ，可3
6、p2q 知（0，0）点是稳定的。 绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示： 答： （1）营养的浓度能达到平衡。 （2）已知，令；KNR dt dN )(NfKNR dt dN 当时，得到的 N 为平衡解；0)(Nf 故 K R N （3）它是稳定的 因为当时，且； K R t 0)(Nf0)( / Nf 当时，且，如下图所示，在处稳定。 K R t 0)(Nf0)( / Nf K R N 答： 根据题意设在 t 时刻，病菌数量为,病菌增长率为，死亡率为，当）（Nt 1 2 时，;0t0)0(N 由此可以建立微分方程，如下所示 0)0( 2 1 21 N NN dt d
7、N 令，当时，计算其平衡点， 2 1 21 )(NNxf0)(xf 2 1 2 1 N0 2 N 下图画出了的符号取值范围和的变化趋势；）（N/t）（Nt 根据题意可知，细菌数量 N 不可能小于 0，当时， 2 1 2 0 N0)( / tN 当时，； 2 1 2 N0)( / tN 因此，根据图示可以判断，是稳定的，不是稳定的。0 2 N 2 1 2 1 N 答：令，计算时的平衡点；Exx N x rxf)1 ()(0)(xf 得到平衡点，；)1 ( 0 r E Nx0 1 x 计算；x N r Er N r xE N xr rxf2)()( / 分别将和带入后得到 0 x 1 x)( /
8、xf 0)1 (2)( 0 / rE r E rErxf 0)( 1 / Erxf 由此可以判断出平衡点处是稳定的，平衡点是不稳定的； 1 x 0 x 由于，且;)()()(xhxgxfx N x rxg)1 ()( 计算；) 2 1 () 1 ()1 ()( / N x r N rx N x rxg 当时，因此可知在曲线的零点位置，其切线斜率为 r;0xrxg)( / )(xg 已知,故必存在平衡点；rE 令，计算得到；0)( / xg 2 N xm 将其带入，可得；x N x rxg)1 ()( 4 )( rN xg 将和带入； 4 )( rN xg 2 N xmExxgxf)()( 计算
9、可得最优捕捞率rE 2 1 答：答：根据题意可知渔场鱼量自然增长的模型，减去相应的捕捞量后 x N rxxln)(g 的鱼量为；这里并不需要解方程以得到Ex x N rxxhxgxfln)()()()(xf x(t)的动态变化过程,只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间 t 足够长以后渔 场鱼量 x(t)的趋向,并由此确定最大持续产量.为此可以直接求方程的平衡点并分析其)(xf 稳定性 令,计算其平衡点；0)(xf r E e N x 0 计算,将带入后得到，故平衡点)( / xfEr x N rln 0 x0)( / rxf 是稳定的。这说明只要捕捞适度，就可以让渔场的鱼量稳定在，
10、应用 r E e N x 0 r E e N x 0 图解法： 、 由图可知，当 h（x）和 g（x）在的顶部相交时，可以获得最大的持续产量。)x(gy 令，得到稳定时的平衡点；)( / xf0lnEr x N r e N x 带入到中，得到 x N rxxhln)( e rN x N rxhmln 将带入到，计算保持渔场鱼量稳定在的捕捞强度为 e N x r E e N x 0 xrE 答：答： 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示； 01 01 2211222 2211111 xbxbcax xbxbcax 将该二元微分方程组展开并整理得到方程组如下所示： 0- 0- 2 22221
11、212222 2112 2 1111111 xcbxxcbxcxa xxcbxcbxcxa 计算该方程组，求得平衡解如下： )0 ,0( 1 p),0( 22 22 2 bc ac p )0 ,( 11 11 3 cb ac p 1、对于平衡点，由于)0 ,0( 1 p )21( )21(- 221122 111 222 221111 xbxbca xcb xcb xbxbca A 22 11 0 0 ca ca A 计算得到 ， 2211 -cacap)()( 2211 cacaq 由于，故且 11 ac 22 ac0p0q 由定理 2.2 可知，平衡点是不稳定的。)0 ,0( 1 p （1
12、）对于平衡点，由于),0( 22 22 2 bc ac p )21( )21(- 221122 111 222 221111 xbxbca xcb xcb xbxbca A 带入平衡点可得 22 22 2 2121 0 - ca ca c caac A , 22 2 2121 - ac c acca p 2 222121 )( c cacaac q 已知，如果，那么得到且。 11 ac 22 ac 2 2 1 1 c a c a 0p0q 根据定理 2.2 可知，当且时，平衡解是稳定的，则当时，0p0qt 。0)( 1 tx （2）对于平衡点，由于)0 ,( 11 11 3 cb ac p )
13、21( )21(- 221122 111 222 221111 xbxbca xcb xcb xbxbca A 带入平衡点可得 1 21 2 11 11 0 c ca a ca ca A ,）（- 1 1221 11 c caca cap )( 1 11 1221 c ca cacaq 已知，如果，那么得到且。 11 ac 22 ac 2 2 1 1 c a c a 0p0q 根据定理 2.2 可知，当且时，平衡解是稳定的，则当时，0p0qt 。0)( 2 tx （3）用图形分析方法解释上述情况：）用图形分析方法解释上述情况： 由于平衡点是不稳定的，故只考虑)0 ,0( 1 p),0( 22 22 2 bc ac p )0 ,( 11 11 3 cb ac p 对于线性方程组在平面上代表 2 条直线和，其中 01 01 221122 221111 xbxbca xbxbca 1 L 2 L 和分别对应如下： 1 L 2 L
