《2012年高考数学二轮精品复习资料-专题06-不等式(教师版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年高考数学二轮精品复习资料-专题06-不等式(教师版)（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20122012 届高考数学二轮复习资料届高考数学二轮复习资料专题六专题六 不等式（教师版）不等式（教师版）【考纲解读考纲解读】 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境 中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元 二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图; 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域 表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小
2、)值问题.学会运用数形 结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判 断推理和逻辑思维能力. 从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现， 且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低. 【考点预测考点预测】 本章知识的高考命题热点有以下两个方面： 1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只 有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数 学的所有章节，且常考常新，难度较高。 2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、 导数、数
3、列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年 高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考 查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单 实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。 3.预计在 2012 年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法， 仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式 知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力， 尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中
4、、高档 题中。 【要点梳理要点梳理】 1.不等式的性质与证明： (1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二 定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式； (4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。 2.不等式的解法: (1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法 (2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数 学问题、写出答案. 对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值 或最小值. 3.二元一次不等式(组)与
5、简单的线性规划问题. 【考点在线考点在线】考点一考点一 不等式的性质不等式的性质例例 1.1.（20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 6)6)若为实数,则“”是“”的( ), a b01ab1baA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件【答案答案】 D【解析解析】则 不充分112,(0,1)42abab 111 24ba 1ba则 不必要条件，故选 D.11,2ba 1ba1124ba 01ab【名师点睛名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法.【备考提示备考提示】：不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎
6、年年必考，不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查，熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键.练习练习 1:1:（20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 5)5)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的ab条件是( )（A） （B） （C） （D）1ab1ab22ab33ab【答案答案】A【解析解析】 1ab 10abab 故选 A.,1ababab反之不能推出【名师点睛名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式.【备考提示备考提示】：熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键. 练习练习 2: 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 141
7、4）已知，且满足，则 xy 的最大值为 ., x yR134xy【答案】3【解析】因为，所以，解得，故 xy 的最大值为 3.12343 4xyx y1 124xy3xy 考点三考点三 解不等式解不等式 高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的 定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段， “不等式的变形” 是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数 列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等） ，其基本思想是转 化思想转化的方法是: 超越式分式整式（高次）整式（低次）一次(或二次)
8、 不等式其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次 不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用. 不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵 活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则 更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之 中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理 不等式、指数和对数不等式的解法例例 3. (2011(2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 9)9)设函数 f（x）=则满足
9、 f（x）2 的 x ， 1xxlog-11x 22x- 1的取值范围是（ ）（A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）【答案答案】 D【解析解析】不等式等价于或解不等式组，可得或，11,22xx 21, 1 log2,x x 01x1x 即，故选 D.0x 【名师点睛名师点睛】本题考查不等式的解法,包含指数与对数不等式.【备考提示备考提示】：不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式（包括含有参数的）、简单的分式不等式、指数与对数不等式.练习练习 3：(2011 年高考广东卷文科 5)不等式的解集是（ ）2210xx A B.1(,1)2(1,)C D (,1)
10、(2,)1(,)(1,)2 【答案答案】D【解析解析】由题得所以选 D.,2110) 1)(12(0122xxxxxx或考点四考点四 线性规划线性规划线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题.例例 4. (2011(2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 6)6)设变量 x,y 满足,则的最大值和最小,xy1 xy1 x xy值分别为( )（A） 1，1 (B) 2，2 (C ) 1，2 (D)2，1【答案答案】B【解析解析】三条直线的交点分别为（0,1） ， （0，1） ， （1,0） ，分别1,1,0xyxyx代
11、入，得最大值为 2，最小值为2.故选 B.xy【名师点睛名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题.【备考提示备考提示】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标求出代入计算即可.练习练习 4：（：（20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 7)7)设变量 x，y 满足约束条件，则目标250200xyxyx 函数的最大值为( )231zxy(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5【答案】B【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点 A(3,1)时, 目标函数231zxy取得最大值为 10,故选 B.231
12、zxy考点五考点五 不等式的证明不等式的证明高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重 要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题 者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压 轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、 概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等 式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求
13、导法、反 证法、数学归纳法等）.例例 5.5.已知 a，bR，且 a+b=1.求证：2252222ba 证法一：比较法，作差消 b,化为 a 的二次函数,也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同.证法二：（放缩法）1ab, 左边 2 22222222abab2125422ab右边证法三：（均值换元法）1ab，所以可设ta21，tb21，左边22221122(2)(2)22abtt 22 255252522222ttt右边当且仅当 t=0 时，等号成立. 证法四：（判别式法）设 y= (a+2)2+(b+2)2，由 a+b=1，有1322)3()2(222aaaay，所以013222yaa
14、，因为Ra，所以0)13(244y，即225y故2252222ba .【名师点睛名师点睛】：形如 a+b=1 结构式的条件，一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方 法的灵活性和各种证明方法间的内在联系. 【备考提示备考提示】：证明不等式的方法有许多，关键是靠平常的善于总结.5. 已知，求证：1, 0, 0yxyx44yx 81【解析解析】，1, 0, 0yxyx22yx xy2两边同加上得，22yx )(222yx 1)(2 yx又，两边同加上得，44yx 222yx44yx )(244yx 222)(yx 4144yx 81【考题回放考题回放】1.(2011 年高考山东卷理科 4)不等式的解集为( )|5|3| 10xx（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D）(, 57,) (, 46,) 【答案】D【解析】则因1111abababbbaa或21111(1)()()ababababbabaab为所以 即于是所以01ab2(1)0ab ab11()()0abba11()()0abba成立，充分条件；11abba或反之成立，即则1
