《高中物理竞赛实用解题方法——递推法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中物理竞赛实用解题方法——递推法（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 递推法递推法递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体 较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共 同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次 作用的递推关系式. 例例 1 质点以加速度 a 从静止出发做直线运动，在某时刻 t，加速度变为 2a；在时 刻 2t，加速度变为 3a；在 nt 时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）nt 时刻质点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程. 解析解析 根据递推法的思想，
2、从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻 t 末的速度为atvt2t 末的速度为atatvatvvttt2,222所以3t 末的速度为atatatatvvtt32322则 nt 末的速度为natvvtnnt )1()321 () 1(32natnatatnatatatLLatnnnnat) 1(21) 1(21（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程.) 12)(1(1212atnnns例例 2 小球从高处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，mh1800速度减小，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g 取)2(1nn 10m/s2）解析解析 小球从 h0高处落
3、地时，速率smghv/60200第一次跳起时和又落地时的速率2/01vv 第二次跳起时和又落地时的速率2 022/vv 第 m 次跳起时和又落地时的速率m mvv2/0每次跳起的高度依次，402 2 2202 1 12,2nh gvhnh gvh通过的总路程LLmhhhhs222210mhnnhnhhnnnnhhm30035 11 12)1111 (2022020 0224220 0LL经过的总时间为LLmttttt210sgvnn gvnngvgv gv gvmm183)11()1(2121 2200010LLLL例例 3 A、B、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正 三角形，每只
4、猎犬追捕猎物的速度均为 v，A 犬想追捕 B 犬，B 犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调 整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长 时间可捕捉到猎物？ 解析解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三 只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如 图 61 所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直 线运动，再用递推法求解. 设经时间 t 可捕捉猎物，再把 t 分为 n 个微小时间间隔t，在每一个t 内每只猎 犬的运动可视为直线运动，每隔t，正三角形的边长分别为
5、a1、a2、a3、an，显然 当 an0 时三只猎犬相遇.tvnaatvatvaatvatvaatvaBBAAaan23,23323,23223,2360cos2312111L因为, 023tvna即vatttn32所以此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解. 例例 4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m，若一次直接 起动，车头的牵引力能带动 30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同 样质量的车厢？ 解析解析 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加， 若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能 则
6、不同. 原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在s 的宽松距离，设火车的牵引力为 F， 则有：车头起动时，有2 121)(mvsmgF拉第一节车厢时：11)(mvvmm故有sgmFvv)(21 412 12 12 12 2221221)2(vmmvsmgF拉第二节车厢时：222)2(mvvmm故同样可得：sgmFvv)35(32 942 22 2推理可得 sgn mF nnvn)312(12由mgnFvn312:02可得另由题意知46,31nmgF得因此该车头倒退起动时，能起动 45 节相同质量的车厢. 例例 5 有 n 块质量均为 m，厚度为 d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一 块一
7、块地叠放起来，如图 62 所示，人至少做多少功？ 解析解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重 力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为mgdW 2将第 3、4、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功 分别为dnmgWdmgWdmgWdmgWn) 1(432543L所以将 n 块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+Wn2) 1() 1(32nnmgddnmgdmgdmgmgdL例例 6 如图 63 所示，有六个完全相同的长条薄片、1( iBAii2、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架
8、在另一 薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为 m 的质点置于 A1A6 的中点处，试求：A1B1薄片对 A6B6的压力. 解析解析 本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、 A5B5的受力情况完全相同，因此将 A1B1、A2B2、A5B5作为一类， 对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解. 以第 i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图 63 甲所示，第 i 个 薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片 向下的压力 Ni+1. 选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有2,21 1 i iiiNNLNLN得所以 65 321)21(21 2
9、1 21NNNNL再以 A6B6为研究对象，受力情况如图 63 乙所示，A6B6受到薄片 A5B5向上的支持力 N6、碗向上的支持力和后一个薄片 A1B1向下的压力 N1、质点向下的压力 mg. 选 B6点为轴，根据力矩平衡有LNLmgLN6143 2由、联立，解得 421mgN 所以，A1B1薄片对 A6B6的压力为.42mg例例 7 用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为 L，横截面是边长为的正方形，要求此桥具)4/(Lhh有最大的跨度（即桥孔底宽） ，计算跨度与桥孔高度的比值. 解析解析 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相
10、同的积木块，从上往下计算，使 积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单 孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值. 将从上到下的积木块依次计为 1、2、n，显然第 1 块相对第 2 块的最大伸出量 为21Lx 第 2 块相对第 3 块的最大伸出量为（如图 64 所示） ，则2x224)2(222LLxGxLxG同理可得第 3 块的最大伸出量323Lx最后归纳得出nLxn2所以总跨度hxknn32.11291 跨度与桥孔高的比值为 258. 1932.11hh Hk例例 8 如图 65 所示，一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁
11、，原点 O 两侧的人的序号都 记为）. 每人只有一个沙袋，一侧的每个沙袋质量为 m=14kg，一3 , 2 , 1( nn0x0x侧的每个沙袋质量. 一质量为 M=48kg 的小车以某初速度 v0从原点出发向正kgm10x 轴方向滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度 v 朝与 车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的 2n 倍.（n 是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？ 解析解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守 恒定律知，车速要减小
12、，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻 使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车 速为零，则不能再扔，否则还能扔.小车以初速沿正 x 轴方向运动，经过第 1 个（n=1）人的身旁时，此人将沙袋以0v的水平速度扔到车上，由动量守恒得当小0022vnvu,)(2100vmMvmMv车运动到第 2 人身旁时，此人将沙袋以速度的水平速度扔到车上，同理1142vnvu有，所以，当第 n 个沙袋抛上车后的车速为，211)2(2)(vmMnvmvmMnv根据动量守恒有.111) 1(,)(2) 1(nnnnnvnmMmnMvvnmMmvnvmnM即同理有
13、，若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有nnvmnMmnMv) 1()2(1. 0, 01nnvv即. 0)2(, 0) 1(mnMmnM由此两式解得：为整数取 3.nnn,1420,1438当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第 n 个人身旁，抛上第 n 包沙袋后由动量守恒定律有：nnnvmnmMnvmvmnmM)3(2) 1(311解得： nnnnvmnmMmnmMvvmnmMmnmMv) 1(3)2(3 3) 1(311同理设抛上 n+1 个沙袋后车速反向，要求0, 01 nnvv即 即抛上第 8 个 870)2(30) 1(3nnmnmMmnmM解得沙袋后车就停止，所
14、以车上最终有 11 个沙袋.例例 9 如图 66 所示，一固定的斜面，倾角，斜面 45 长 L=2.00 米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为 m 的 质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数，试求此质点从开始到20. 0发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程. 解析解析 因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求 质点从开始到发生 n 次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求 解. 设每次开始下滑时，小球距档板为 s则由功能关系：sin)()(cos2121ssmgss
15、mgsin)()(cos3232ssmgssmg即有32 cossincossin2312Lss ss由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为.32在发生第 11 次碰撞过程中的路程11321222sssssL111 1111321321)32(1 2)(2ss sssss L)(86. 9)()32(121011mm 例例 10 如图 67 所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌 面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是 m1、m2 和 m3，m2=m3=2m1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽 略不计. 开始时，三球处在槽中、的位置，彼此间距离相等，m2和 m3静止，m1以初速沿槽运动，R 为圆环的内
