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1、线性系统能控性和能观测性的概述 线性连续系统的能控性 线性连续系统的能观测性 线性离散系统的能控性和能观测性 对偶性原理 系统的能控标准形和能观测标准形 结构分解 传递函数实现 传递函数零极点对消,第三章控制系统的能控性和能观性,(1) 能控性控制作用u(t)对被控系统状态x(t)进行控制的可能性。(2) 能观测性由系统输出量测值y(t)确定系统状态x(t)的可能性。,3.1线性系统能控性和能观测性的概述,3.2 线性连续系统的能控性,一、 状态能控性,若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么 就称系统在t0，tf时间间隔内是状态完全能控的， 简称系统是能控的。,线性定常系统,存在一个分段连
2、续输入信号u(t)，能在有限时间 区间t0，tf 内 ，使系统的某一初始状态x(t0)转移到 指定的任一终端状态x(tf ) ，则称此状态是能控的。,说明： 若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用，则称系统是可达的。对线性定常系统，可控与可达是可逆的。,3.2 线性连续系统的能控性,二、 线性定常系统的状态能控性判据,3.2 线性连续系统的能控性,方法一：直接根据状态方程的A阵和B阵,方法二：转化为约旦标准形,，再根据,判断,二、 状态能控性判据,方法三：传递函数,3.2 线性连续系统的能控性,方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的充要条件是其能控性矩
3、阵的秩为n，即：,rankQc = nQc = B AB A2B An 1B ,证明 已知状态方程的解为,3.2 线性连续系统的能控性,设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点， 即x(tf ) = 0。则有,利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理,3.2 线性连续系统的能控性,因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令,3.2 线性连续系统的能控性,若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态 x(0)都应从上述方程中解出 0，1，n 1。 这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即,rank B AB A2B An 1 B = n,例：设系统的状态方程
4、为判断其状态能控性。,解：Qc = B AB A2B =,rankQc= 2 n,2 11 1 1 1,3 22 2 2 2,5 44 4 4 4,所以系统状态不完全能控。,3.2 线性连续系统的能控性,3.2 线性连续系统的能控性,方法二：（1）设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件是系统经线性变换后的对角线矩阵,中, 不包含元素全为零的行。,3.2 线性连续系统的能控性,证明：系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。由前章可知，系统(A，B)和( ， )之间做线性非奇异变换时有：,3.2 线性连续系统的能控性,P是非奇异阵,其次证明不包含元素为零的行是系
5、统(A，B) 状态完全能控的充要条件。,将对角标准形的每一行写成如下展开形式,显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，,( i = 1，2，n)能控的充要条件是下列元素不同时为零。,(1),3.2 线性连续系统的能控性,例： 考察下列系统的状态能控性。,(2),(3),3.2 线性连续系统的能控性,3.2 线性连续系统的能控性,（2）若线性连续系统(A，B)有相重的特征值,则其状态完全能控的充要条件是：系统经线性变换后的约旦矩阵,输入矩阵 中对应于互异的特征值的各行，没有 一 行的元素全为零；输入矩阵 中与每个约当块最后一行相对应的各 行，没有一行的元素全为零。,例： 考察下列各系统的状态
6、能控性。,3.2 线性连续系统的能控性,3.2 线性连续系统的能控性,方法三：,3.2 线性连续系统的能控性,例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？,3.2 线性连续系统的能控性,例：判断线性连续系统能控性？,解：,线性定常系统能控性判据小结： rankQc= rank B AB An1B= n 当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。 单输入系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。,3.2 线性连续系统的能控性, (A，B)为能控标准形。,三
7、、 线性定常系统的输出能控性,定义： 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔t0，tf内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf )，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的。,3.2 线性连续系统的能控性,3.2 线性连续系统的能控性,定理： 线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即,rankQ =rank CB CAB CAn -1B D = m,例： 设某一系统，其方块图如下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。,解：描述系统的状态空间表达式为,3.2 线性连续系统的能控性,
8、rankQc = rank B AB =,1 1,0 0,rankQ = rank CB CAB D = 2 0 0 ,输出是完全能控的。 系统的状态能控性与输出能控性是不等价的。, 状态是不完全能控的。,3.2 线性连续系统的能控性,3.3 线性系统的能观测性,一、状态能观测性定义对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf t0，能够根据输出量y(t)在t0，tf内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是能观测的。若系统的每个状态都能观测，则称系统是状态完全能观测。,二、 线性定常系统的状态能控性判据,3.3 线性系统的能观测性,方法一：直接根据状态空间表
9、达式的A阵和C阵判断,方法二：转化为约旦标准形,，再根据,判断,二、 状态能观测性判据,3.3 线性系统的能观测性,方法一：线性定常系统(A，C)状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵,满秩，即： rankQo = n,证明 假设t0 = 0， 则齐次状态方程的解为x(t) = eAt x(0)y(t) = CeAt x(0),3.3 线性系统的能观测性,因为一般m n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，y(tf )，此时把方程个数扩展到n个，即,3.3 线性系统的能观测性,上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的量测值y(t1)，y(t2
10、)，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵Qo满秩。,2 1 2 1,1 0 1 0,rankQo = 2 = n,3.3 线性系统的能观测性,例：判断能观测性？,解：,系统能观测,例： 若系统的状态空间表达式为分别确定当系统状态可控及系统可观测时a，b，c，d应满足条件。,可见，当a b c d 0时系统可控；当c 0时系统可观测。,解：,3.3 线性系统的能观测性,方法二：（1）设线性定常连续系统(A，C)具有互不相同的特征值，则其状态完全能观测的充要条件是：系统经线性非奇异变换后的对角标准形：,3.3 线性系统的能观测性,中，不包含全为零的列。,（2） 设
11、线性定常连续系统(A，C)具有重特征值，则其状态完全能观测的充要条件是：系统经线性非奇异变换后的约当标准形,3.3 线性系统的能观测性,式中，和每个约当块Ji（i =1，2，k）相对应的 的第一列元素不全为零。,（2）,3.3 线性系统的能观测性,例： 分析下列系统的状态能观测性,线性定常系统能观测性判据小结：, 当A为对角形且特征值互异时，输出矩阵C中无全为零列；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，C中与约当块第一列对应的列不全为零，且C中相异特征值对应的列不全为零。SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。 (A，B)为能观测标准形。,3.3 线性系统的能观测
12、性,一、线性离散系统的能控性定义设线性定常离散系统的状态方程:x(k+1) = G x(k) + H u(k)定义:对于系统 (G，H)，如果在有限采样间隔内kT t nT，存在阶梯控制信号序列u(k),u(k+1),，u(n1)，使得系统从第k个采样时刻的状态x(k)开始，能在第n个采样时刻到达零状态，即x(n) = 0，则称该系统在第k个采样时刻上是能控的。若系统在第k个采样时刻上的所有状态都是能控的，那么该系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,注：线性定常连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统
13、能控，离散化后的系统不一定能控，与采样周期T的选择有关。,线性定常离散系统(G，H)，定义能控性矩阵为 Uc = H GH G2H Gn 1 H ，若系统矩阵G非奇异，则状态完全能控的充要条件是：rankUc = n,二、线性离散系统的能控性判据,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,证明 已知状态方程的解为,根据假设条件，当k n时，x(k) = 0，即,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,G n 1 H u(0)+ G H u(n2)+ H u(n1) = G n x(0),当G是非奇异矩阵时，对于任意给定的非零初态x(0)，Gnx(0)必为某一非零的n维列矢量。因此，方程有解的充要条件
14、系统的能控性矩阵 Uc 满秩。,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,解：Uc = H GH G2H =,1 0 0 1 0 0,1 2 0 1 1 0,0 4 0 1 4 2,试判断系统是否具有能控性。,例： 线性离散系统的状态方程为,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,三、 线性定常离散系统的能观测性定义,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,如果根据第i步以后的观测值y(i)，y(i+1)，y(N)， 能唯一地确定出第i步的状态x(i)，则称系统在第i步是能观 测的。若系统在任意采样时刻上都是能观测的，则称系统 为状态完全能观测的，或简称系统能观测。,3.4线性离散系统的能控性和能观测
15、性,四、 线性定常离散系统的能观测性判据,线性定常离散系统 (G，C)状态完全能观测的充要条件是 能观测性矩阵Uo满秩，即：,x(k+1) = G x(k) y(k) = C x(k)利用递推法，可得 y(0) = Cx(0) y(1) = Cx(1) = CGx(0) y(n1) = CG n1 x(0) 写成矩阵形式,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,证明:假设观测从第 0步开始，并认为输入u(k)=0，此时系统为,x(0)有唯一解的充要条件是能观测性矩阵Uo满秩。,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,0 0 1 1 0 0,3 0 2 1 0 1,9 0 1 2 0 3,Uo = C CG CG2 T =,所描述的系统是否能观测。,3.4线性离散系统的能控性和能观测性,解：,例:,3.5 对偶性原理,系统1的状态空间表达式为,系统2的状态空间表达式为,则称系统1和系统2是互为对偶,一、对偶性定义,从结构图上看，系统1和其对偶系统2的输入端和输出端互换， 信号传递方向相反，信号引出点和比较点互换，各矩阵转置。,
