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1、第一讲：整式的恒等变形第一讲：整式的恒等变形 pagepage 1 1 ofof 9 9第一讲第一讲 整式的恒等变形整式的恒等变形【专题知识点概述专题知识点概述】把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。等问题中，有着广泛的应用。通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑
2、推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。基础，又具有独特的复杂性和技巧性。整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立
3、方差公要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：式外，有时还用到下面几个：（1 1）3223333)(babbaaba（2 2）)(3222333cabcabcbacbaabccba（3 3）)(1221nnnnnnbabbaababa下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：1 1、运用运算性质和法则运用运算性质和法则 例 1.设 x、y、z 都是整数，且 11 整除 7x+2y-5z，求证：11 整除 3x-7y+12z。第一讲：整式的恒等变形第一讲：整式的恒等变形 pagepage 2 2
4、ofof 9 9 例 2.已知，当 x=0 时，y=-3；当 x=-5 时，dcxbxaxy35y=9，求 x=5 时 y 的值。 例 3.若 a、b、c 都是自然数，且满足,且 c-2345dcba、 a=19，求 d-b 的值。2 2、灵活应用乘法公式灵活应用乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 例 4.计算1) 12() 12)(12)(12(3242 例 5.已知整数 a、b、 （
5、a-b）都不是 3 的倍数，试证是33ba 9 的倍数。第一讲：整式的恒等变形第一讲：整式的恒等变形 pagepage 3 3 ofof 9 9 例 6.当：时，试求下列各式的值且1a0,cba222cb(1)bc+ca+ab; (2)444cba 例 7.试求。除的余数被1392781243xxxxxxx 例 8.求证：)(3222333cabcabcbacbaabccba本公式在整式的恒等变形中，经常使用的是“若 a+b+c=0, 则”和其逆命题。abccba3333 例如：设 a、b、c 为有理数，且 a+b+c=0,.证0333cba 明对于任何正奇数 n，都有。0nnncba第一讲：
6、整式的恒等变形第一讲：整式的恒等变形 pagepage 4 4 ofof 9 93.3.配方法配方法配方法是一种重要的数学方法，配方法在恒等变形中应用十分广泛。在配配方法是一种重要的数学方法，配方法在恒等变形中应用十分广泛。在配方时，还常常要用到拆项或者补项的技巧。方时，还常常要用到拆项或者补项的技巧。 例 9.证明：当 a、b 取任意有理数时，多项式的值总是正数。116222baba 例 10.若。cbacbacba:)32()(142222，求 例 11.已知 a、b、c、d 为四边形的四条边，且求证：此四边形是菱形。abcddcba44444第一讲：整式的恒等变形第一讲：整式的恒等变形
7、pagepage 5 5 ofof 9 9 例 12.解方程。0441212322222yyyxyxx 例 13.若 a、b、c、d 是整数，且，求证 mn2222dcnbam，可以表示成两个整数的平方和。4 4、应用因式分解应用因式分解应用因式分解来进行整式的恒等变形，也是一种常用的方法。应用因式分解来进行整式的恒等变形，也是一种常用的方法。 例 14.在三角形 ABC 中，（a、b、c 是010616222bcabcba三角形的三条边） ，求证：a+c=2b。 例 15.已知，试求(a-b)(b-c)(c-a)的cabcabcbacba222222值。第一讲：整式的恒等变形第一讲：整式的恒
8、等变形 pagepage 6 6 ofof 9 9 例 16.已知，求适合等式0cba的整数 a、b、c 的值。1998cbacacbababc 例 17.解方程。7)32)(158()2716(2xxx5 5、代换法代换法所谓代换法，就是用字母替代或者等量替换的方法，有时应用的换元法就所谓代换法，就是用字母替代或者等量替换的方法，有时应用的换元法就是其中的一种。是其中的一种。 例 18.已知 a、b、c、d 适合。求证：3333dcbadcba，。2011201120112011dcba第一讲：整式的恒等变形第一讲：整式的恒等变形 pagepage 7 7 ofof 9 9 例 19.证明：
9、)2)(2(2b3)2()2()2(333cbabacaccbabacacb）（ 例 20.已知，求证 x、y、z0) 1() 1() 1(3333zyxzyx，且中至少有一个等于 1。 例 21.证明：)()()()(33333333333yxxzzyzyxxyzxyzxyzxyzzyx第一讲：整式的恒等变形第一讲：整式的恒等变形 pagepage 8 8 ofof 9 9 例 22.设是 x 的一次式的完全立方式，求证 3mr=rnxmxx232n 例 23.已知。求证：0112222nqmpqpnm，0112222pqmnqnpm， 例 24.设，证明：xyzzyxxyzyxzzxyzyx4)1)(1 ()1)(1 ()1)(1 (222222第一讲：整式的恒等变形第一讲：整式的恒等变形 pagepage 9 9 ofof 9 9 例 25.已知 a、b、c 两两不等，且满足关系式：。macacmbccbmabba222222（1）求 m 的值；（2）求证：。)(222222mabbacba 例 26.证明：如果当自变量 x 取任意整数值时，二次三项式总取整数值，那么 2a,a+b,和 c 都是整数，并且反过来cbxax2也成立。 例 27.已知,00022pnxmxcbxaxa，求证：。)()(2bmancnbpapcm
