《对称性、奇偶性和周期性的综合运用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对称性、奇偶性和周期性的综合运用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一函数的对称性 （一）函数（一）函数)(xfy 的图象自身对称 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， )()(xbfxaf )(xfy 图象关于直线 22 )()(baxbxa x 对称. 推论 1： )()(xafxaf )(xfy 的图象关于直线 ax 对称. 推论 2： )2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线 ax 对称. 推论 3： )2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线 ax 对称. 求对称轴方法：求对称轴方法： 22 )()(baxbxa x 2、中心对称 对于函数 f(x)的定义域内
2、任意一个 x， cxbfxaf2)()( )(xfy 的图象关于点 ), 2 (c ba 对称. 推论： bxafxaf2)()( )(xfy 的图象关于点 ),(ba 对称. 推论： bxafxf2)2()( )(xfy 的图象关于点),(ba对称. 推论： bxafxf2)2()( )(xfy 的图象关于点),(ba对称. 求对称中心方法：求对称中心方法： . 2 2 , 2 )()( c c y xbxa x 纵坐标横坐标 小结小结: : 轴对称与中心对称的区别轴对称与中心对称的区别 轴对称：轴对称：f(a+x)=f(a+x)= f(b-x)f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），
3、函数值相等中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等( (差为零差为零) )； 中心对称：中心对称：f(a+x)=f(a+x)= - - f(b-x)+2cf(b-x)+2c 中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为 定值定值. . 2 （二）两个函数的图象相互对称（二）两个函数的图象相互对称 1、函数 )(xafy 与函数 )(xbfy 图象关于直线 2 ab x 对称； 特别地，特别地，函数 yf(ax)与 yf(ax)关于直线 x=0(y 轴)轴对称； 函数 )(xfy 与函数 )( xfy 图象关于 y 轴对称； 求对称轴方法：求对称轴
4、方法：令 a+x=b-x,得 2 ab x . 2 2、函数 yf(ax)+c 与 yf(bx)+d 关于点中心对称；) 2 , 2 ( dcab 特别地，特别地，函数 yf(ax)与 yf(ax)关于点（0,0）（原点）中心对称. 函数 )(xfy 与函数 )( xfy 图象关于原点对称函数. 求对称中心方法：求对称中心方法：横坐标令 a+x=b-x,得 2 ab x ，纵坐标 y= . 2 dc 二 函数的奇偶性 1. 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x) （f(x) f(x) 0） ，那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数的图象关于 y 轴（x=0）对称 推论
5、：若 yf(xa)为偶函数，则 f(xa)f(xa)，即 yf(x)的图像关于直线 xa 轴对称. 2. 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x) （f(x) +f(x) 0） ，那么函数 f(x)叫做奇函数奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论：若 yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)，即 yf(x) 的图像关于 点（a，0）中心对称. 三函数的周期性 1. 定义：对于 ( )fx 定义域内的任意一个x，都存在非零常数T，使得 ()( )fxTfx 恒成立，则称函数 ( )fx 具有周期性，T叫做 ( )fx 的一个周期， 则kT（ ,0kZ k ）
6、也是 ( )fx 的周期，所有周期中的最小正数叫 ( )fx 的最小正周期. 2. 推论： ()( )fxTfx ( 0T ) )(xfy 的周期为 T. ()()fxafxb )(xfy 的周期为abT 3 )()(xfaxf )(xfy 的周期为aT2 )( 1 )( xf axf )(xfy 的周期为aT2 )( 1 )( xf axf )(xfy 的周期为aT2 )(1 )(1 )( xf xf axf )(xfy 的周期为.2aT 1)( 1 )( xf axf )(xfy 的周期为aT2 )(1 )(1 )( xf xf axf )(xfy 的周期为aT4 )()()2(xfaxf
7、axf )(xfy 的周期为aT6 若.),()(, 0 p a Tapxfpxfp则 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数， 且 T2|ab|. 推论：偶函数 )(xfy 满足 )()(xafxaf )(xfy 周期 aT2 若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周 期函数，且 T2|ab|. 推论：奇函数 )(xfy 满足 )(xfy 周期aT40)()(xafxaf )(xfy 有一条对称轴 ax 和一个对称中心 )0,(b( )fx 的周期 T4|ab|. 小结：小结：函数对称性、奇偶性和周期性
8、定义共同点：“对于函数 f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个 x x” ； 对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性内反表示对称性，内同表示周期性”； 定义在上的函数)(xfy ，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只 要有两条存在，则第三条一定存在. 题型分类 1.1. 求函数值求函数值 4 例例 1 1. 设)(xf是 ),( 上的奇函数，),()2(xfxf当 10 x 时， xxf)( ，则 )5.7(f 等于（-0.5） （A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例例 2 2.偶函数 yf(x)满足条件 f(x1)f(x1)，且当 x
9、1,0时，f(x)3x， 4 9 则 f()的值等于( ) 1 3 log 5 A1 B. C. D1 29 50 101 45 解：由于偶函数 yf(x)满足条件 f(x1)f(x1)，说明函数的周期为 2，f(-x) =f(x) 当 x1,0时，f(x)3x，则对于，f()=f(2+ 4 9 13 3 log 5=-log 5 1 3 log 5 )=f(2- )=3=1 故可知答案为 D. 1 3 log 5 3 log 5 3 log 5 4 9 2 2比较函数值大小比较函数值大小 例例 3 3.若 )(Rxxf 是以 2 为周期的偶函数，当 1,0x 时，,)( 1998 1 xxf
10、试比较 ) 19 98 (f 、 ) 17 101 (f 、 ) 15 104 (f 的大小. 解： )(Rxxf 是以 2 为周期的偶函数，又 1998 1 )(xxf在 1,0 上是增函数，且 1 15 14 19 16 17 1 0 ， ). 15 104 () 19 98 ( 17 101 (), 15 14 () 19 16 () 17 1 (ffffff即 3 3、求函数解析式、求函数解析式 例例 4 4. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 0,2x 时，f(x) =2x+1，求当 6,4x 时求 f(x)的解析式. 例例 5 5设 )(xf
11、是定义在 ),( 上以 2 为周期的周期函数，且 )(xf 是偶函数，在区间 3,2 上， . 4 )3(2)( 2 xxf求2,1x时，)(xf的解析式. 5 解：当 2,3 x ，即 3,2 x ， 4)3(24)3(2)()( 22 xxxfxf 又 )(xf 是以 2 为周期的周期函数，于是当 2,1x ，即 243x 时， ).21 (4) 1(243)4(2)( )4()( 2 2 xxxxf xfxf有 ).21 (4) 1(2)( 2 xxxf 4 4、判断（证明）函数性质、判断（证明）函数性质 例例 6 6.已知 )(xf 的周期为 4，且等式 )2()2(xfxf 对任意
12、Rx 均成立， 判断函数 )(xf 的奇偶性. 解：由 )(xf 的周期为 4，得 )4()(xfxf ，由 )2()2(xfxf 得 )4()(xfxf ， ),()(xfxf 故 )(xf 为偶函数. 例例 7 7.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+999)= )( 1 xf ，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数 f(x)的奇偶性. 例例 8 8.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 0,2x 时，f(x)是减函 数，求证当 6,4x 时 f(x)为增函数 解：设则 12 46xx 21 2440xx f(x)在-2，0上是
13、减函数 21 (4)(4)fxfx 又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题 3（1）知函数 f(x)的 周期为 4 故 f(x+4)=f(x) f(-x)=f(x) 21 ()()fxfx 21 ()()f xf x 故当时 f(x)为增函数 4,6x 例例 9 9.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数 6 例例 1010.设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)， 则 f(x)是（C ） A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数 C奇函数，又是
14、周期函数 D奇函数，但不是周期函数 例例 1111.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足对任意 xR 都有 f(2+x)=-f(x)，又当 x-1,1时 f(x)=x3 ， 证明：直线 x=1 是 f(x)图像的一条对称轴； 当 x1,5时，求函数 f(x)的解析式 判断函数的单调性 5 5、确定函数零点个数、确定函数零点个数 例例 1212.设函数 )(xf 对任意实数x满足)2()2(xfxf， 且判断函数 )(xf 图象在区间 30,30 上与x轴至),7()7(xfxf, 0)0(f 少有多少个交点. 解：由题设知函数 )(xf 图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得 )(xf 是以 10 为周期的函数.在一个周期区间10,0上， ,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且xffffff 故 )(xf 图象与x轴至少有 2 个交点. 而区间 30,30 有 6 个周期，故在闭区间 30,30 上 )(xf 图象与x轴至少有 13 个交点. 6 6、求参数的值（范围）、求参数的值（范围） 例例 13.13.若函数 f(x)=|x+a|，且
