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1、必修 1 考点梳理一、函数及其表示1函数的基本概念(1)函数的定义：设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域：在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系
2、完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据(5)函数的表示法解析法、图象法、列表法2分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数3映射的概念 ：设 A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射一种方法：求复合函数定义域的方法(1)已知函数 f(x)的定义域为a，b，则复合函数 f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b 求出(
3、2)已知函数 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时的值域两个防范(1)解决函数的任何问题，要把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则(2)用换元法解题时，应注意换元后新变量的取值范围函数新定义问题此类试题着重考查考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力，求解时可通过选取满足题设条件的特殊函数，化抽象为直观，使得此类问题得以突破比如函数的凸向：对函数定义域内的任意，( )yf x1212,()x x xx使不等式成立的函数叫下凸函数，使不等式1212()()()22xxf xf xf成立的函数叫上凸函数1212()()()22xxf xf
4、xf二、函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2定义当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(3)对于任意 xI，都有 f(
5、x)M；(4)存在 x0I，使得 f(x0)M.(2)存在 x0I，使得 f(x0)M.结论M 为最大值M 为最小值一个防范单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，用“， ”分开，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结两种形式设任意 x1，x2a，b且 x10f(x)在a，b上是增函数；fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)1 且 nN*当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数na零的 n 次方根是零当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它na负数没有偶次方们互为相反数根(2
6、)两个重要公式Error!nanna(注意 a 必须使有意义)(na)na2分数指数幂(1)正分数指数幂是：a (a0，m，nN*，n1)；mnnam(2)负分数指数幂是：a (a0，m，nN*，n1)；mn1nam(3)0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂无意义3有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r、sQ)；(2)(ar)sars(a0，r、sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)4指数函数 yax(a0 且 a1)的图象与性质a100 时，y1；x0 时，01性质在(，)上递增在(，)上递减一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数
7、指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算两个防范(1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的，因此解题时通常对底数 a 按01 进行分类讨论(2)换元时注意换元后“新元”的范围三个关键点画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(1，1a)五、对数与对数函数1对数的概念 (1)对数的定义如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a(a0 且 a1)logaN常用对数底数为 10lg N自
8、然对数底数为 eln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN；logaaNN(a0 且 a1)(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b 均大于零且不等于 1)；logaNlogablogab，推广 logablogbclogcdlogad.1logba(3)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M 0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；MNlogaMnnlogaM(nR)；logamMn logaM.nm3对数函数的图象与性质a101 时，y0 当 01 时，y0性质在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数
9、yax与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线 yx对称一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明两个防范解决与对数有关的问题时，(1)优先考虑定义域；(2)注意底数的取值范围三个关键点画对数函数 ylogax 的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，.(1a，1)四种方法对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0 或 1)；(4)化同真数后利用图象比较六、幂函数与二次函数1幂函数的概念一般地，函数 yx叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数2幂函数的图象
10、与性质由幂函数 yx、yx 、yx2、yx1、yx3的图象，可归纳出幂函数的如12下性质：(1)幂函数在(0，)上都有定义；(2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当 0 时，幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，)上是单调递增；(4)当 0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立的充要条件是Error!(2)ax2bxcr2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20 时，两变量正相关，当 r0 时，才能把 x 看作一个整体，代入 ysin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误两种方法 求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为 yAsin(x)的形式，通过分析
11、 x 的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把 sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决四、函数 yAsin(x)的图象及性质1 “五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：先确定五点即令 x 分别等于 0， ，2，得对应的五点232为 ，.2322(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 yAsin(x)在 R 上的图象2三角函数图象的变换3函数 yA
12、sin(x)的物理意义当函数 yAsin(x)(A0，0，x0，)表示一个振动时，A 叫做振幅，T叫做周期，f 叫做频率，x 叫做相位， 叫做初相21T一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为 ，利用这一结T4论可以较快地写出“五点”的坐标两种方法 图象变换有两种方法，在解题中，一般采用先平移后伸缩的方法三点提醒(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由 yAsin x 的图象得到 yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，|而不是|.五、两角和与差的正弦、余弦和正切1
13、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.2tan 1tan23有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；1cos 221cos 22(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.2( 4)一个技巧 拆角、拼角技巧：2()()；()
14、； .222(2) (2)三个变换 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等（平面向量部分）一、平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的
15、向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的加法与减法向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法向量 a 加上向量b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 a(b)ab三角形法则aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当 0 时，a 与 a 的方向相同；当
