《高中数学选修2-2第1章1.1.3导数的几何意义课件人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修2-2第1章1.1.3导数的几何意义课件人教a版（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.3 导数的几何意义,1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义. 2.会求导函数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.,1.导数的几何意义 (1)切线:如图,当点Pn(xn,f(xn)(n=1,2,3,4,)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0)时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.显然,割线PPn的斜率是kn= ( )( 0 ) 0 .当点无限趋近于点时,无限趋近于切线的斜率.,(2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,也就是曲线y=f(x)在点P(x0
2、,f(x0)处的切线斜率k= lim 0 f( x 0 +x)f( x 0 ) x =(0),相应地,切线方程为(0)=(0)(0).,名师点拨如图,函数f(x)在区间x0,x0+x上的平均变化率的几何意义是割线PQ的斜率,当点Q沿曲线y=f(x)趋近于点P时(即x趋近于0),割线PQ绕点P转动,它的最终位置为曲线在点P处的切线位置直线PT.,即k=f(x0)= lim 0 f( x 0 +x)f( x 0 ) x . 因此,函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.,【做一做1-1】 若f(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线(
3、 )A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 解析:由导数的几何意义知,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率为0,故选B. 答案:B,【做一做1-2】 如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ) A.f(x0)0 B.f(x0)0 C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在 解析:根据导数的几何意义,知f(x)在x=x0处的导数就是f(x)在x=x0处的切线的斜率,所以f(x0)= 1 2 0,则切线与x轴正方向的夹角是锐角;若f(x0)0,则切线与x轴正方向的夹角为钝角;若f(x0)=0,则切线与x轴平行或重合.,
4、2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的直线是切线”的区别是什么? 剖析:在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时,我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切线:当直线和曲线有唯一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,这种推广是不妥当的.,观察图中的曲线C,直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M,但我们不能说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此,对于一般的曲线,必须重新寻求曲线切线的定义.,3.如何区分f(x0)与f(x)?
5、 剖析:对于一个确定的函数y=f(x)=x2,我们可以求出y=f(x)在x=0,x=1,x=3,x=4处的导数即f(0),f(1),f(3),f(4).如: y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2 0 2 =()2+20x, = ( ) 2 +2 0 =+20, f(0)= lim 0 y x = x0 (+20)=0. 同理可得:f(1)=2,f(3)=6,f(4)=8,f(x0)=2x0. 我们会发现对于一个确定的自变量值x0,f(x0)也是确定的值.因此,我们可以得到对于函数y=f(x),当x变化时,f(x)是关于x的一个函数.需注意f(x0)与f(x)的意义不同,f(x)为f(
6、x)的导函数,而f(x0)为f(x)在x=x0处的导函数值.,题型一,题型二,题型三,题型四,求曲线的切线方程,(1)求在曲线C上横坐标为2的点处的切线方程. (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点? 分析解答第(1)小题,可先求出切点坐标及斜率,然后利用直线的点斜式方程求切线方程;解答第(2)小题,可把第(1)小题中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)由 =44, = 1 3 3 + 4 3 , 得(x-2)(x2+2x-8)=0, 解得x1=2,x2=-4. 从而求得公共点的坐标为(
7、2,4)或 (-4,-20). 故切线与曲线C的公共点除了切点外,还有其他的公共点.,反思1.解决这类题,先求出函数y=f(x)在已知点处的导数即曲线在该点处切线的斜率,再由直线的点斜式方程便可求出切线方程. 2.导数的几何意义中所说的点应在曲线上,否则函数在该点处的导数不是斜率.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知曲线C:f(x)=2x2+1,求过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程.,解:设切点P0(x0,y0), 则f(x0)= lim 0 f( x 0 +x)f( x 0 ) x = x0 2( 0 + ) 2 +1(2 0 2 +1) = lim 0 (40+
8、2)=40. 故曲线C在点P0处的切线l的方程为y-y0=4x0(x-x0),即l:y-y0=4x0x-4 x 0 2 . 又点P0在曲线C上,y0=2 x 0 2 +1, y-2 x 0 2 1=404 x 0 2 . 切线l过点P(0,0),-2 x 0 2 1=4 x 0 2 ,题型一,题型二,题型三,题型四,即2 x 0 2 =1,0= 2 2 . 当x0= 2 2 时,切线l的方程为y-2 2 2 2 1=4 2 2 4 2 2 2 ,即y=-2 2 ; 当x0= 2 2 时,切线l的方程为y-2 2 2 2 1=4 2 2 4 2 2 2 ,即y=2 2 . 故过点P(0,0)且与
9、曲线C相切的切线l的方程为y=-2 2 或y=2 2 .,题型一,题型二,题型三,题型四,求切点坐标 【例2】 已知抛物线y=f(x)=3x2+7,求: (1)在抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45? (2)在抛物线上哪一点处的切线平行于直线6x-y-2=0? (3)在抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+12y-3=0? 分析:设点的坐标求出在该点处的导数 利用条件建立方程求出点的坐标,题型一,题型二,题型三,题型四,解:设所求点的坐标为(x0,y0),则 y=3(x0+x)2+7-3 0 2 7=60x+3(x)2. 所以 =60+3. 当x无限趋近于零时, 无限趋近于6x0, 即f(x0)
10、=6x0. (1)因为切线的倾斜角为45, 所以斜率为tan 45=1, 即f(x0)=6x0=1,得x0= 1 6 . 所以该点的坐标为 1 6 , 85 12 .,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0, 所以切线的斜率为6,即f(x0)=6x0=6,得x0=1. 所以该点的坐标为(1,10). (3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直, 所以切线的斜率为12,即f(x0)=6x0=12,得x0=2. 所以该点的坐标为(2,19).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息可知函数在所求点处的导数
11、,进而可求得此点的横坐标. 具体的解题步骤为: (1)先设切点坐标为(x0,y0); (2)求导函数f(x); (3)求切线的斜率; (4)由斜率与导数间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (5)切点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入曲线方程求得切点坐标.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 求曲线y=f(x)=x3在哪一点处的切线, (1)平行于直线y=3x-5? (2)垂直于直线x+6y+5=0? (3)倾斜角为45? 分析:本题主要考查导数的几何意义和两条直线平行、垂直的条件.解题的关键是设出切点的坐标,求出切线的斜率.,题型一,题型二,题型三,题型四
12、,(2)因为切线与直线x+6y+5=0垂直, 所以3 0 2 1 6 =1,得x0= 2 , 即P( 2 ,2 2 )或( 2 ,2 2 )是满足条件的点. (3)因为倾斜角为45, 所以其斜率为1,即3 0 2 =1,得x0= 3 3 , 即 3 3 , 3 9 或 3 3 , 3 9 是满足条件的点.,题型一,题型二,题型三,题型四,导数几何意义的综合应用 【例3】 设曲线f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交点处的两条切线的夹角为,求cos . 分析:本题考查了导数几何意义的综合应用,解决本题的关键是求出两条切线的方向向量,要求cos 的值,必须先求出两条曲线的交点,再利用导数分别求出在交点处的切线的斜率,通过向量的数量积可求得cos .,题型一,题型二,题型三,题型四,解:由f(x)=g(x),得x3-x2+x-1=0, 即(x-1)(x2+1)=0, 所以x=1,即两条曲线的交点坐标为(1,2). 因为f(1)= lim 0 f(1+x)f(1) x = x0 (1+ ) 2 +1( 1 2 +1) =2, 所以曲线f(x)在交点处的切线l1的方程为 y-2=2(x-1),即y=2x. 又因为g(1)= lim 0 (1+)(1) = lim 0 (1+ ) 3 +(1+)( 1 3 +1) =4,
