现代数学文化与美学欣赏

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1、数学文化与美学欣赏,数学是光彩照人的科学女王， 而不是X光下面的骷髅！,正 整 数 的 美 学 审 视 对 无 理 数 的 品 味 无 限 世 界 的 美 妙 数 学 方 法 的 优 美 数 学 美 的 不 同 类 型 数 学 史 上 的 几 大 奇 观 数学与人的发展 数学与思维的发展,正整数的美学审视,你对正整数有感觉吗？ 你喜欢哪个（些）正整数？ 你知道数论吗？ 正整数优美吗？,A.完美数,因 数: 素 数:完美数：,如6的所有真约数是1、2、3，而且6=123。像这样，一个数所有真约数的和正好等于这个数，通常把这个数叫做完美数,素数就是质数。它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示

2、为任何其它两个整数的乘积。,當除數可以整除被除數(意即被除數=除數*商)，則除數叫做被除數的因數,任何一个自然数的约数中都有1和它本身,我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真约数,A.完美数,完美数有多少?,A.完美数,只发现20多个,完美数有许多有趣的性质：1. 它们都能写成连续自然数之和：6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 496=1+2+3+4+31, 8128=1+2+3+4+1272.它们的尾数都是6或8,A.完美数,A.完美数,3.它们的全部因数的倒数之和都是2。 1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2

3、 1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2 物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别用途，但完美数的奇异和美丽吸引了许多人,B.Mersen数,Euclid（欧几里得）在探寻完美数的时候发现：完美数可能的公式：,B.Mersenne（梅森素数）,形如2p1的正整数，其中p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数。p2，3，5，7时，Mp都是素数，但M1120472389不是素数 。已发现的最大梅森素数是p24036583的情形，此时 Mp 是一个7235733位数。是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题

4、之一。,B.Mersenne,Mersenne在代数编码（密码学）中有用。,C.回文素数,回文诗：晚秋即景 烟霞映水碧迢迢， 暮色秋声一雁遥， 前芩落辉残照晚， 边城古树冷萧萧。 倒过来念为： 萧萧冷树古城边， 晚照残辉落芩前， 遥雁一声秋色暮， 迢迢碧水映霞烟。 芩（qn）,数学中的回文素数或回文质数：,例如：2位数的回文素数有4对： 1331；1771；3773；9779 三位数的回文素数共13对； 四位数的回文素数共102对； 五位数共684对 有趣的是=3.1415926 前两位数：31-13 前六位数：314159-951413,试着找一对吧,D：其它有趣的现象：,自守数：所谓自守数

5、就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。 例如： 2121=421 212121=9261 325325=105625 6666=1296 末尾是25和76的数也是自守数，三位数以上也有。,自然数中的奇数和偶数。,奇数：,偶数： 2=12 2+4=6=23 2+4+6=12=34 2+4+6+8=20=45 2+4+6+8+ +2n =n（n+1）,对所有的自然数，下面的规律也成立并且十分有趣：,在自然数中还有一些数，看起来貌不惊人，但却十分特别，令人百思不得其解。6174就是其中之一。,7641-1467=6174

6、有趣的是，不仅6174本身，就是任意一四位数字，只要4个数字不完全相同，用上述办法重复多次，最后终能得到6174这个数。例如1234这个数，我们用下列步聚运算： 4321-1234=3087 8730-0378=8352 8532-2358=6174,E.素数的个数,（1）素数的分布规律,有起有伏，似 乎没有规律,E.素数的个数,（1）素数的分布规律,进一步看，也 没有一般规律,E.素数的个数,（1）素数的分布规律,19世纪有一位数学爱好者观察了600000内的素数，发现在n和2n之间至少有1个素数。9年后一位俄国数学家证明了猜想的正确性。,有一般的规律,E.素数的个数,（2）素数的个数,无穷

7、多,E.素数的个数,（2）素数的个数,E.素数的个数,（2）素数的个数,1800年一位德国数学家猜想这一等式成立，96年后，两位法国数学家同时独立地证明了猜想的正确性。,E.素数的个数,（2）素数的个数,猎奇审美，它们之间是相通的。在杂乱无章的素数分布上，人们发现了许多奇特的规律，犹如万树丛中的鸟语花香,2.对无理数的品位,古希腊数学十分繁荣，与艺术和哲学紧密相连的。古希腊哲学（毕达哥拉斯流派）对数（正整数）和对世界的思考是不可分割的。他们认为： 万物皆数，数生万物，1最神圣 古中国：一生二、二生三、三生万物,2.对无理数的品位,无理数的发现打破了古希腊数学与哲学的和谐，产生了数学（也是哲学）

8、的第一次危机,2.1 黄金分割,2.1 黄金分割,2.1 黄金分割,正五边形对角线长与边长之比 正五边形边长与对角线长之比,2.1 黄金分割,0.618的美学实例,人体: 躯干部分的宽与长之比肚脐、膝盖 植物：相邻两叶在与茎垂直的平面上的投影的两夹角的比 利于通风采光,在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶足底之分割点；(2)咽喉：头顶肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐足底之分割点；(5)、

9、(6)肘关节：肩关节中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；(9)眉间点：发际颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。,面部黄金分割律 面部三庭五眼 黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部

10、轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。 黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。,2.1 黄金分割,0.618的美学实例,名曲: 高潮出现在全曲的黄金分割点 名画：充分利用了0.618 建筑: 如建筑物的特征点、门窗等 黄金分割点体现了美与实用，沟通了人与

11、自然,2.2 e与,无理数分类 代数无理数：整系数多项式的根超越无理数：代数无理数以外的无理数 证明它们是超越无理数是相当困难的。,2.2 e与,来源与背景,2.2 e与,无理数的定义说明它们不可以用有限个有理数来表示。微积分的无穷级数提供了无理数的有理数的无限和表示。例如,有理数表示,2.2 e与,数值计算,猜测：1.每隔10位数就会出现同样的数字;2. 的数字中必有e的前n位数字,e的数字中必有的前n位数字。,2.2 e与,奇妙关系,1：实数单位 i：虚数单位 0：唯一中性数,i：来源于几何 ：来源于分析,2.2 e与,同构关系,乘法运算形式一致,2.2 e与,莱布尼兹,3无限世界的美妙,

12、数学是研究无限的科学， 数学提供了研究无限的基本思想方法,对无限的最早感受是正整数,区分有限与无限的方法:数数,把握无限的方法:反证法,正整数的属性,3: 是什么? 代表什么? 实际上3就是一个符号, 与a, f(x) 是一样的!其含义就是表示若干不同表现形式的共性:相同的数量或不同的专一属性-编码.,如:3个苹果,3支钢笔,3个人,3分钱 实际上, 脱离实际情况,3本身是没有实际意义的.但作为媒介，3包含了上述情况的共性 在数量上一样多。虽然世界各地的读音不同。,多少的比较,方法之一：数数,6,6,多少的比较,方法之二：比较,少 多,映射,自然数的比较,1,2,2,4,3,6,n,2n,自然

13、数与偶数一样多！,1,f(1),2,f(2),3,f(3),n,f(n),推广,推广,这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点,这个运动表明： 当x沿直线趋于负无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点,演示表明：在直线上无论x是趋于 ,还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！,圆周比直线多一点！,新概念,集合A与B称为基数相等，如果A，B之间存在1-1对应关系（1-1映射）。记为 显然基数概念推广了个数概念。,几个有趣的结论,1、有理数与自然数一样多,这个集合的基数不超过自然数的基数，而自然数是其子集，所以

14、这两个集合的基数相等。同样的理由知道有理数与自然数一样多。,几个有趣的结论,2、（0，1）与（0，+）的点一样多,几个有趣的结论,3、（0，1）的点比自然数多,5、自然数是基数最小的无穷集合。,4、自然数的所有子集所成的集合与（0，1）的基数一样。,几个有趣的结论,6、一个集合的基数（）小于其子集所成的集合的基数（2 ） 2 ,由此人们给出了处理无穷多（自然数）的一个方法数学归纳法： 如果与自然数k有关的命题P(k)满足条件 （1） P(1)成立； （2）若P(n)成立，则P(n+1)也成立, 则P(k)对所有的自然数成立。,4、数学方法的优美,观点和方法是数学的两个方面：既紧密联系，又有所区

15、别。但方法影响观点。我们来看看数学方法的美。,4.1 反证法,“不能不” 反证法 通常的证明方法：,+条件,结论,“对”,“不对”,新结论,条件,矛盾,成立,正证法,反证法,例1,反证法：,依据是排中律,例2（抽屉原理）,3个苹果放进2个抽屉中，至少有1个抽屉中有两个苹果。 （反证法易得）,10本书，共3类（抽屉），文学类（A）、史学类（B）和数学类（C），证明至少有一类有4本或4本以上。,10本书，共3类（抽屉），文学类（x）、史学类（y）和数学类（z），证明x,y,z至少有一个大于或等于4。抽象为一个纯数学问题：,假设人类的头发最多为200万根，那么南平市至少有2人的头发根数一样多。（南平

16、市人口超过200万）,在任意6人中，一定可以找到3个相互认识，或3个相互不认识的人。,以上例子表明：反证法能够说明许多有趣的现象。 给我们带来了美的享受：精美和优美。,4.2 RMI方法,RMI：R-relation, M-mapping, I-inversion. 即关系、映射和取逆。它属于形式逻辑范畴。如“三段式”给人以逻辑美。RMI方法体现了辨证思想的方法。,例1,显得容易。,例2,运算,数值,曲折：化难为易 曲折：创造、发明 曲折：实现的根据是对数 Galileo(伽利略)：给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙。 RMI的体现：R：21/11（关系） ，M：lgx （映射）,I:10lgx（取逆）,