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1、第七章 现代谱估计,7.2 ARMA模型,7.3 功率谱估计的AR模型法,7.1 引言,7.4 AR模型谱估计的性质,7.5 ARMA模型谱估计,7.6 特征分解法谱估计,7.1 引言,1. 经典谱估计方法的缺点： 根据观察到的N个样本值来估计功率谱，认为在这N个数据以外的数据为零，与实际不符，因而导致了各种缺点。 2. 现代谱估计方法的基本思想：,7.1 引言,2. 现代谱估计方法的基本思想： 对平稳和遍历的随机过程采样得到的数据不仅仅是一个样本，其中包含了数据之间的相关性质 通过提取这种相关性质，也就是先利用采样数据建立随机过程的模型，对数据进行外推，进而提高功率谱估计的分辨率。 通常称为
2、参数模型法。,7.1 引言,3. 平稳随机信号通过线性系统,7.1 引言,平稳白噪声通过线性系统,将y(n)看成是白噪声通过一个线性系统的输出，则只要得到系统的频率响应，就能够计算出y(n)的频谱。,7.1 引言,4. 线性系统,H(z),7.1 引言,MA（Moving Average） 系统：,7.1 引言,AR （Auto Regressive）系统:ARMA系统:,7.2 ARMA模型,1. ARMA模型 很多随机过程可以由或近似由均值为零、方差为 的白噪声序列u(n)经过具有有理传输函数H(z)的ARMA线性系统来得到。称该随机过程为ARMA过程。,7.2 ARMA模型,只要根据采样
3、样本估计出ARMA模型的参数 （ai与bi），即可求出 2. ARMA模型的分类： p阶AR模型：，记作AR(p)。 q阶MA模型：，记作MA(q)。 普通的ARMA模型：，记作ARMA(p,q)。,7.2 ARMA模型,3. ARMA过程与有理式谱密度的关系 任意平稳ARMA过程，其功率谱密度有如下形式：若一平稳过程x(n)的功率谱密度形如：则x(n)可用ARMA(p,q)模型描述，即,7.2 ARMA模型,4. ARMA模型的系统特性 稳定系统：有限输入有限输出。 冲击响应绝对值可和： 收敛域包含单位圆：因果系统：0时刻以前的冲激响应为0，系统是物理可实现的。 H(z)的收敛域在某个半径的
4、圆外。,7.2 ARMA模型,4. ARMA模型的系统特性 可逆系统：系统的逆系统1/H(z)是因果稳定的，即其零点均在单位圆内。,7.2 ARMA模型,5. ARMA模型的Wold分解定理 任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程都可用某一AR()过程唯一地描述。 任何一个ARMA或AR过程都可用某一MA()过程唯一地描述。,7.2 ARMA模型,5. ARMA模型的Wold分解定理 说明： 实际应用中，若模型选择有误，仍可通过使阶数足够大来进行合理近似； AR模型求解简单，可多选择AR模型进行估计。,7.2 ARMA模型,6. ARMA参数与自相关函数之间的关系 自相关函数与系统冲激响应的
5、关系设系统为因果和最小相位系统，则,7.2 ARMA模型,自相关函数与ARMA参数的关系,7.2 ARMA模型,当 时， ，因此,7.2 ARMA模型,自相关函数与AR参数的关系在ARMA模型中，令q=0可得,7.3 功率谱估计的AR模型法,1. 基本概念 问题：已知随机序列x(n)符合AR(p)模型，即：其中p为未知整数。现有x(0) x(1) x(N-1)共N个样本，要求估计x(n)的功率谱密度。,7.3 功率谱估计的AR模型法,1. 基本概念 问题： 估计x(n)的功率谱密度。 思路： 求模型阶数p； 求 求u(n)的方差 。,7.3 功率谱估计的AR模型法,2. Yule-Walker
6、方程 当阶数p已知时，利用x(n)的自相关函数与AR模型参数的关系，可建立Y-W方程，解该方程，即可得到AR参数。,AR模型的Yule-Walker方程组,7.3 功率谱估计的AR模型法,令解Y-W方程的Levinson-Durbin递推法 请参考“自适应格形滤波器”的有关内容。,7.3 功率谱估计的AR模型法,AR模型参数的可辨识性:矩阵R的秩为p,因此Y-W方程有唯一解。即AR模型的参数可由p个Yule-Walker方程唯一确定。,7.3 功率谱估计的AR模型法,3. AR模型的阶数p 阶数p的影响阶数太低：功率谱受到的平滑太厉害，降低分辨率。 阶数太高：会产生许多虚假的谱峰或谱的细节。,
7、7.3 功率谱估计的AR模型法,AR模型的拟合特性:AR模型相当于用一个p 阶预测器对信号进行拟合,而白噪声u(n)相当于拟合误差。 阶数太低：不能体现信号之间的内在联系； 阶数太高：会增加拟合误差，使模型表现出数据随机误差的性质。,7.3 功率谱估计的AR模型法,4. AR模型谱估计的性能 均值：方差：,7.3 功率谱估计的AR模型法,5. 确定AR模型阶数的几种方法 实验方法：观察拟合误差法算出取各种模型阶数时的白噪声方差2，以能使2值显著减小的模型阶数的最大值作为选定的结果。,7.3 功率谱估计的AR模型法,信息量准则法：（利用拟合噪声方差随阶数增加而减小以及谱估计方差随阶数增加而增大的
8、特点）定义拟合噪声方差： i) 最终预测误差（FPE）准则：,7.3 功率谱估计的AR模型法,ii) Akaike信息准则（AIC）：，其中N为数据长度。iii) BIC准则：,7.3 功率谱估计的AR模型法,iv)最小长度准则（MDL）v) 自回归传递函数准则（CAT）,7.3 功率谱估计的AR模型法,说明： 当数据长度N较小时，方法iv均不理想； 在处理实际数据时，各种方法的效果差别不大； 试验表明，对于短数据，模型阶数选在N/2到N/3之间效果较好。,7.3 功率谱估计的AR模型法,线性代数法： 奇异值分解法 行列式检验法 Gram-Schmidt正交法,7.3 功率谱估计的AR模型法,
9、6. AR模型定阶的奇异值分解法 奇异值分解：对于一个MN矩阵A，存在一个MM酉阵U和NN酉阵V，使得A可分解为其中 为MN对角矩阵，其主对角线上元素非 负，且称 为矩阵A的奇异值。不为0的奇异值的个数等于A的秩。,7.3 功率谱估计的AR模型法,奇异值分解确定 AR阶数利用R(m)构造 矩阵：Re为R的扩展，它的秩为p。因此Re有p个主要的奇异值，其余的都十分接近于零。 可以用Re的主要奇异值的个数来确定AR阶数p。,7.4 AR模型谱估计的性质,1. 性质1:AR模型谱估计等效于最大熵谱估计 最大熵谱估计问题的提出 经典谱估计方法具有分辨率低和旁瓣“泄漏”的问题，其根本原因是自相关函数加窗
10、。为克服这些问题必须对自相关函数进行外推。,7.4 AR模型谱估计的性质,最大熵谱估计问题的提出 Burg于1967年提出以最大熵作为自相关函数外推的准则，其合理性在于这样对自相关函数的约束最少，因而时间序列的随机性最大，功率谱最光滑（相当于光滑性约束）。,7.4 AR模型谱估计的性质,最大熵谱估计原理 熵率的定义：N维随机向量x的概率密度为p(x)，则其熵率定义为：功率谱密度 的熵定义(高斯信号)：,x 越随机、概率分布越均匀，其熵率越大。,7.4 AR模型谱估计的性质,最大熵谱估计问题的定义：在约束的条件下，即在 时自相关函数与观测值一致的条件下，外推自相关函数，使最大。,7.4 AR模型
11、谱估计的性质,最大熵谱估计的求解方法令,7.4 AR模型谱估计的性质,7.4 AR模型谱估计的性质,说明： 最大熵谱估计是由功率谱的熵针对未知自相关函数求导来得到，它恰好满足AR模型。 对自相关函数依使谱熵最大的准则进行外推后得到的谱实际上就是把信号看作服从AR模型所得到的谱。反之，当把信号看成服从AR模型，也相当于对自相关函数依谱熵最大准则进行外推。,7.4 AR模型谱估计的性质,说明： 已知的自相关函数值可用来求得AR模型的参数。,7.4 AR模型谱估计的性质,2. 性质2:AR谱估计隐含了对自相关函数的外推 已经知道自相关与AR模型参数的关系为设R(0), R(1),R (p)已知，则,
12、7.4 AR模型谱估计的性质,说明： AR谱估计相当于将有限个自关函数值按照Y-W方程进行外推后进行付氏变换得到的结果； 由该方法将自相关函数进行了外推，克服了经典谱估计方法加窗导致分辨率低和旁瓣泄露的问题。,7.4 AR模型谱估计的性质,AR模型谱估计与周期图比较示例,周期图估计频谱,AR模型估计频谱,7.4 AR模型谱估计的性质,3. 性质3: AR谱估计与线性预测谱估计等效 线性预测谱估计：求最小均方误差意义下针对随机序列x(n)的p阶预测器,7.4 AR模型谱估计的性质,3. 性质3: AR谱估计与线性预测谱估计等效,与Y-W方程组相同,AR谱估计相当于:用随机序列前p个时刻的值在MM
13、SE准则下预测（外推）当前值，依次外推出未知序列后再进行谱估计。,7.4 AR模型谱估计的性质,说明： 匹配问题,7.4 AR模型谱估计的性质,匹配问题 功率谱匹配自相关匹配,7.4 AR模型谱估计的性质,匹配问题 能否时域匹配?基于自相关函数的AR模型谱估计只能做到 功率谱匹配 自相关匹配,7.4 AR模型谱估计的性质,4. 影响AR谱估计性能的因素 噪声若存在观测白噪声v(n)，受干扰的AR过程变为,y(n)符合ARMA(p,p)模型,7.4 AR模型谱估计的性质,噪声不仅有极点，而且有零点。当 时，零点与原来的极点抵消，产生非常平滑的谱，导致分辨率下降。,7.4 AR模型谱估计的性质,自
14、相关函数的计算误差 理想情况下，应有 事实上由于估计误差，可能造成即估计的谱中多出N-p个额外的极点。 若其中有靠近单位圆的极点，则会形成虚假的谱峰。,7.4 AR模型谱估计的性质,克服噪声对AR谱估计的影响 i) 对数据滤波，减小噪声； ii) 采用高阶AR模型 ARMA(p,q)模型可由AR()描述。因此，随着AR模型阶数的增加，估计结果趋于y(n)的真实谱； 考虑到自相关计算的误差，AR模型的阶数一般不超过数据长度的一半。 iii) 采用ARMA(p,p)模型。,7.4 AR模型谱估计的性质,5. 自相关法 求使在观测数据范围内前向预测误差功率最小的模型参数,7.4 AR模型谱估计的性质
15、,5. 自相关法 设在n=N范围内，x(n)=0,7.4 AR模型谱估计的性质,5. 自相关法自相关法的求解式与Y-W方程组形式一致,7.4 AR模型谱估计的性质,6. 协方差法 避免假设在n=N范围内，x(n)=0,7.4 AR模型谱估计的性质,6. 协方差法,7.4 AR模型谱估计的性质,6. 协方差法该方程组不能用Levinson算法求解,7.4 AR模型谱估计的性质,7. 修正协方差法 联合前向预测和后向预测,7.4 AR模型谱估计的性质,7.修正协方差法,7.4 AR模型谱估计的性质,7. 修正协方差法该方法用于计算自相关的数据量加倍,7.5 ARMA模型谱估计,1. MA模型参数与自相关的关系由系统冲激响应与自相关的关系已经得到,7.5 ARMA模型谱估计,2. MA模型的系数求解 MA模型可由无穷阶AR模型逼近,7.5 ARMA模型谱估计,等效于 的q阶线性预测器。 设计 使 最小，可逼近 。,7.5 ARMA模型谱估计,MA模型参数估计步骤： 由x(n)建立AR(p)， ，得到由 建立q阶MMSE线性预测器，该预测器的系数为 。,7.5 ARMA模型谱估计,3. ARMA模型参数与自相关的关系,7.5 ARMA模型谱估计,4. ARMA参数估计步骤 i) 求 利用 时的自相关函数关系可得：,
