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1、1增强模型意识，口算解题不再是梦想增强模型意识，口算解题不再是梦想新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路，以 欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求 得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问 题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。 在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法， 力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下 几个模型： 1、长方体的长方体的“一角一角”模型模型在三棱锥中，PABC,PAPB PBPC PCPA且. ,PAa PBb PCc三棱锥的高P
2、ABC222222abch a bb cc a 证明：设直线 AH 交 BC 于 D 点，由于 H 点一定在ABC 内部，所以 D 点一定在 BC 上，连结 PD. 在PAD 中：222222222222()()bcaabcbcPHbca bb cc aa bc 的平面角分,PBCA PCAB PABC二面角别是：.222222 arctan,arctan,arctana bcb acc ab bcacab例 1、四棱锥中，底面是边长为的正方形，PABCDABCD2，求的大小. ,1PAABCD PA面ADPB分析：考虑三棱锥，它就是模型 1长方APDB体的“一个角”.本来我们可以利用结论解：
3、设二面角的大小为.ADPBPCBAcbaDHPCBAcbaPDCBA2则：，故2212 16tan212ABPAAD PA AD6arctan2我们看到象例 1 这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.例 2、直二面角中，ABCD 是边长为 2 的正方形（见图）DABEAEBE，求 B 点到面 ACE 的距离.分析：这是一道高考中的大题.因为 DABE 是直二面角，BC面 ABE，当然面 ABCD面 ABE，又因为 ABCD 是正方形，BC 要垂直于面 ABE. 在 ABE 中，AE 就是面内的一条线，而 BE 就是BF 在该面内的射影，而 AE 是垂直于 BF
4、，这是因为BF 垂直面 ACE 的，所以 AE 是垂直于面 ACE 的.所以AE 垂直于 BF，又有 AEBE，所以ABE 是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束ABE 的形状.补充图形，在正方体看问题.在1111ABCDABC D这里看直二面角的局部图形.问题就转化为：求 D 到面 ACE 的距离，就是求O 点到面 AB1C 的距离.因为 O，B 到面 ACB1的距离相等，所以只须求B 到面 ACB1的距离即可，考虑三棱锥 BACB1，它是模型 2.31422 32,323BCBABBBF 所以，D 到面 ACE 的距离为.2 3 3点评：比起高考评分标准给
5、的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的 AEB 是以 E 为直角的等腰直角三角形和 ABCD 是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角 BACB1，那么这个角的模型OD1C1B1A1FEDCBAE D C B A 3更高，这就使我们在运算过程中得以简化.所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.例 3 底面为 ABCD 的长方体被截面AEC1F 所截，AB4，BC2，CC13，BE1（见图） ，求 C 点到面 AEC1F 的距离.分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的
6、辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.解：延长 C1E 交 CB 延长线于 M，延长 CD，交 C1F 延长线于N，CC1NM 是模型 2.因为13,321C CCMCMCMCNBCBE CM同理.13,1242C CCNCNCNCNCDDF CN所以，C 到面 C1MN 的距离为：.3 3 124 33 119 99 1449 144 2、公式、公式的几何模型的几何模型12coscoscosAB 是 PB 在内的射影，BC 是内一PBPA平面，是的斜线, B,条直线则有.12,PBCPBAABC12coscoscos大家要注意搞清楚那个是，那个是，那个是，实际上只要搞清那个12
7、是，另外两个就是.12, 特别的，内的直线不一定过 B，如上面的右图所示：NMEDC1FCBAD21PCBA21PCBA4在直线 AB 上有一点 D，过 D 在画一直线 DC，则是直线 PB 与 DC 所成的角，则12,.PBAADC12coscoscos那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB 和 DC 的成角.例 4 EA面 ABCD，ABCD 是边长为的正方形，EA1，在 AC 上是2否存在 P 点，使 PE、BC 成角.60分析：12EPAAPMEPMcoscoscosEPAAPMEPM即所以. 212,221APAP 112APAC 可见 AC 中点即是要找的点 P例
8、5 长方体中，AB2，AA11，BD 与面 AA1B1B 成1111ABCDABC D30角.AEBD 于 E，F 为 A1B1的中点，求 AE，BF 成角.解：12coscoscoscos45 cos(9030 )212.224所以 AE，BF 成角为.2arccos4这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间.3、双垂四面体模型、双垂四面体模型如图 3，四面体 ABCD，AB面 BCD，CD面 BCA，这种四面体构成许
9、多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：PNMDCBAED1C1B1A1FEDCBA5；coscoscosADCADBBDC以 BD、BC 和 AC 为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC 为棱的二面角的平面角，分别是与DBCACB以 AD 为棱的二面角为，则；cosAB CD AC BD对棱 AB 与 CD 垂直，且 BC 是它们的公垂线；对棱 AD 与 BC 为异面直线，它们夹角为，则cosBC AD例 3 如图 4，ABCD 是上下底长分别为 2 和 6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴 OO1拆成直二面角，如图 5. 3（1）证明：ACBO1；（2）求二面角 OACO1的大小
10、.解：（1）略（2）平面 AOO1平面 OO1C，又AOO1C，AO 平面 OO1C，同理 CO1平面 AOO1，四面体 AOO1C 是一个双垂四面体，若二面角 OACO1的平面角为，则，根据条件，从图 5 中可知11cosAO CO OC AOAO3，OC2，CO11，即可自得.12 3AO 3cos4例 4 如图 6，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，AEEB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （1）求证：AE平面 BCE；（2）求二面角 BACE 的大小；（3）求点 D 到平面 ACE 的距离.图3DCBAO1O图4DCBAO1O图5DCBA图
11、6FEDCBA6分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体 AEBC 是一个双垂四面体，若二面角 BACE 的平面角为，则，由条件可以计算出cosCB AE AB CEABCB=2,AE=，.26CE 3arccos3值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，点 D 到平面 ACE 的距离等于 B 点到平面ACE 的距离，也就是线段 BF 的长为2 22 3.36EB BC EC利用典型立体几何模型解高考题利用典型立体几何模型解高考题1 （本小题满分 13 分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂OABCOAOBOC， 直，且，是的中点1OA 2O
12、BOCEOC （1）求点到面的距离；OABC （2）求异面直线与所成的角；BEAC （3）求二面角的大小EABC解：显然三棱锥和都是长方体一OABEOABC脚模型，（1）设点到面的距离为，则由结论 1，OABCh2222226 3OA OB OCh OAOBOBOCOAOC （2）设与所成的角为，则由模型二，BEACcoscoscosOEBACO由勾股定理，所以， 5ABACBE2cos5ACO1cos5OEB故， 2cos52arccos5（3）设二面角、的大小分别为，EABOCABOEABC, 则，由结论 1，22 tan5OCOAOB OA OB225tan2OEOAOB OA OB7所
13、以tantan5tan1tantan72、 （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD底面 ABCD，E是 AB 上一点，PEEC. 已知求二面角 EPCD 的大,21, 2,2AECDPD小.解：过 E 点作EGCDG于，G过点作，则显然三棱锥FGCDGEF于，连结是长方体一角模型，设二面角 EPCDGCEF的大小为，则由结论 1可知：，下面就只剩下计算问题了22 tanEGCGFG CG FG因为 PD底面，故 PDDE，又因 ECPE，且 DE 是 PE 在面 ABCD 内的射影，故由三垂直线定理的逆定理知：ECDE，设 DE=x，因为DAECE
14、D，故（负根舍去）.从而 DE=1，故1, 1,2xxxCD AEx即有勾股定理，3 2ADEG，又因为，所以，故3 2CGCDDGCGFG CDDP3 2 4CG DPFGCD，二面角 EPCD 的大小为22 tan1EGCGFG CG FG.43、 （本小题满分 13 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知 AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求：23PDCBEAGF8（）异面直线 AB 与 EB1的距离；（）二面角 AEB1A1的平面角的正切值.解（）显然四面体是双垂四面体模型1ABEB由结论 3，B
15、E 是异面直线 AB 与 EB1的公垂线在平行四边形 BCC1B1中，设 EB=x，则 EB1=，24x作 BDCC1，交 CC1于 D，则 BD=BC.23 3sin在BEB1中，由面积关系得.0)3)(1(,23221421222xxxx即（负根舍去）3, 1xx解之得, 33cos21,322CECEBCEx中在时当解之得 CE=2，故此时 E 与 C1重合，由题意舍去.3x因此 x=1，即异面直线 AB 与 EB1的距离为 1.（）先求二面角1AEBB由结论 3，二面角的大小为，由于 AB=，1AEBBAEB21BE 故，又二面角是直二面角，故二面角 AEB1A1tan2AEB11AB EB的平面角的正切值为.2 2巧妙利用典型的立体几何模型可
