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1、数学分析教案 - 1 - 第十九章第十九章 含参量积分含参量积分 教学目的：教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含 参量反常积分的概念、性质及其计算方法； 教学重点难点教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛 性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数教学时数：12 学时 1 1 含参量正常积分含参量正常积分 一一. . 含参积分含参积分: : 以实例 和 引入. 定义含参积分 和 . 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为 含参积分. 1.1. 含参积分的连续性含参积分的连续性: : Th19.5Th1
2、9.5 若函数 在矩形域 上连续 , 则函数 在 上连续 . ( 证 ) P172 Th19.8Th19.8 若函数 在矩形域 上连续, 函数 和 在 上连续 , 则函数 在 上连 续. ( 证 ) P173 2.2. 含参积分的可微性及其应用含参积分的可微性及其应用: : 数学分析教案 - 2 - ThTh 19.1019.10 若函数 及其偏导数 都在矩形域 上连续, 则函数 在 上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 ThTh 19.1119.11 设函数 及其偏导数 都在矩形域 上连续,函数 和 定义在 , 值域在 上 , 且可微 , 则含参积分在
3、上可微 , 且 . ( 证 )P174 例例 1 1 计算积分 . P176. 例例 2 2 设函数 在点 的某邻域内连续 . 验证当 充分小时 , 函数 的 阶导数存在 , 且 . P177. 2 2 含参反常积分含参反常积分 一一. . 含参无穷积分含参无穷积分: : 数学分析教案 - 3 - 1.1. 含参无穷积分含参无穷积分: : 函数 定义在 上 ( 可以是无穷区间 ) . 以 为例介绍含参 无穷积分表示的函数 . 2.2. 含参无穷积分的一致收敛性含参无穷积分的一致收敛性: : 逐点收敛逐点收敛( ( 或称点态收敛或称点态收敛 ) ) 的定义的定义: : , , 使 . 引出一致收
4、敛问题 . 定义定义 (一致收敛性 ) 设函数 定义在 上 . 若对 , 使 对 成立, 则称含参无穷积 分在 ( 关于 )一致收敛. ThTh 19.519.5 ( CauchyCauchy收敛准则 ) 积分 在 上一 致收敛, 对 成立 . 例例 1 1 证明含参量非正常积分 在 上一致收敛 , 其中. 但在区间 内非一致收敛 . P180 3.3. 含参无穷积分与函数项级数的关系含参无穷积分与函数项级数的关系: : 数学分析教案 - 4 - ThTh 19.619.6 积分 在 上一致收敛, 对任一数列 , , 函数项级数 在 上 一致收敛. ( 证略 ) 二二. . 含参无穷积分一致收
5、敛判别法含参无穷积分一致收敛判别法: : 1.1. WeierstrassWeierstrass M M 判别法判别法: : 设有函数 , 使在 上 有 . 若积分 , 则积分 在 一致收敛. 例例 2 2 证明含参无穷积分 在 内一致收敛. P182 2.2. DirichletDirichlet判别法和判别法和AbelAbel判别法判别法: : P182 三三. . 含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质: : 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质. 1.1. 连续性连续性: : 积分号下取极限定理. ThTh 19.719.7 设函数 在 上连续 . 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上连续. ( 化 为级数进行证明或直接证明 ) 推论推论 在 Th.7 的条件下 , 对 , 有 2.2. 可微性可微性: : 积分号下求导定理. 数学分析教案 - 5 - ThTh 19.819.8 设函数 和 在 上连续. 若积分 在 上收敛, 积分 在 一致收敛. 则函数 在 上可微,且 . 3.3. 可积性可积性: : 积分换序定理. ThTh 19.919.9 设函数 在 上连续. 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上可积 , 且 有 . 例例 3 3 计算积分 P186
