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1、20142014 年成人高考数学模拟试题年成人高考数学模拟试题 3 3第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. .1. 设集合，则中元素的个数为（ ）1,2,4,6,8,1,2,3,5,6,7MNMNA2 B3 C5 D72. 已知角的终边经过点，则（ ）( 4,3)cosA B C D4 53 53 54 53. 不等式组的解集为（ ）(2)0| 1x xx A B C D
2、 | 21xx | 10xx |01xx |1x x 4. 已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（ ）A B C D1 63 61 33 35. 函数的反函数是（ ）3ln(1)(1)yxx A B 3(1) (1)xyex 3(1) (1)xyex C D3(1) ()xyexR3(1) ()xyexR6. 已知为单位向量，其夹角为，则（ ）a b 、060(2)abbA-1 B0 C1 D27. 有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A60 种 B70 种 C75
3、 种 D150 种 8. 设等比数列的前 n 项和为，若则（ ）nanS243,15,SS6S A31 B32 C63 D649. 已知椭圆 C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线22221xy ab(0)ab1F2F3 32F交 C 于 A、B 两点，若的周长为，则 C 的方程为（ ）l1AFB4 3A B C D22 132xy2 213xy22 1128xy22 1124xy10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）A B C D81 416927 411. 双曲线 C：的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为，则 C 的焦距22221
4、(0,0)xyabab3等于（ ）A2 B C4 D2 24 212. 奇函数的定义域为 R，若为偶函数，且，则（ ）( )f x(2)f x(1)1f(8)(9)ffA-2 B-1 C0 D1第第卷（共卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数为 .（用数字作答）6(2)x3x14. 函数的最大值为 .cos22sinyxx15. 设 x、y 满足约束条件，则的最大值为 .0 23 21xy xy xy 4zxy16. 直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3） ，
5、则与的夹角的正切值1l2l222xy1l2l1l2l等于 .三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题小题. . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. （本小题满分 10 分）数列满足.na12212,2,22nnnaaaaa（1）设，证明是等差数列；1nnnbaa nb（2）求的通项公式.na18. （本小题满分 12 分）的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知，求 B.ABC13 cos2 cos ,tan3aCcAA19. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱中，点在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上
6、，111ABCABC1A090ACB.11,2BCACCC（1）证明：；11ACAB（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.1AA11BCC B31AABC20.（本小题满分 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别是 0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值.21. （本小题满分 12 分）函数.32( )33 (0)f xaxxx a（1）讨论函数的单调性；(
7、)f x（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.( )f xa22. （本小题满分 12 分）已知抛物线 C:的焦点为 F，直线与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，22(0)ypx p4y 且.5 4QFPQ（1）求抛物线 C 的方程；（2）过 F 的直线 与 C 相交于 A,B 两点，若 AB 的垂直平分线与 C 相交于 M,N 两点，且 A,M,B,Nll四点在同一个圆上，求直线 的方程.l20142014 年成人高考数学模拟试题答案年成人高考数学模拟试题答案 3 3一、选择题1.B2.D3.C4.B5.D6.B7.C8.C9.A10.A11.C12.D二、填空题13
8、. -16014. 15. 516. 3 24 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）解：（1）由得，即，又2122nnnaaa2112nnnnaaaa12nnbb.1211baa所以是首项为 1，公差为 2 的等差数列； nb（2）由（1）得，即，于是12(1)nbn 121nnaan1 11()(21)nnkk kkaak 于是，即，2 11naan2 11nana又，11a 所以的通项公式为na222nann18.（本小题满分 10 分）解：由题设和正弦定理得，3sincos2sincosACCA所以3tancos2sinACC因为，所以.1
9、tan3A cos2sinCC1tan2C 所以tantan180()BACtan()AC =tantan 1tantanAC AC=-1,即135B 19.（本小题满分 12 分）解法一：（1）因为平面，平面，故平面平面，1A D ABC1AD 11AAC C11AAC CABC又，所以平面，BCACBC 11AAC C连结，因为侧面是棱形，所以，1AC11AAC C11ACAC由三垂线定理的.11ACAB（2）平面，平面，故平面平面，BC 11AAC CBC 11BCC B11AAC C11BCC B作，为垂足，则平面，11AEC CE1AE 11BCC B又直线平面，1/AA11BCC
10、B因而为直线与平面间的距离，1AE1AA11BCC B13AE 因为为的平分线，故，1AC1ACC113ADAE作，为垂足，连结,由三垂线定理得，DFABF1AF1AFAB故为二面角的平面角，1AFD1AABC由,得为的中点，22 111ADAAADDAC，15 25ACBCDFAB1 1tan15ADAFDDF所以二面角的大小为.1AABCarctan 15解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以的长为单位长，建立如图所示的空间CCAxCB直角坐标系，由题设知与轴平行，轴在平面内. Cxyz1ADzz11AAC C（1）设，由题设有，则(-2，1，0)，1( ,0, )A ac2a (2,
11、0,0), (0,1,0)ABAF ，1( 2,0,0),(2,0, )ACAAac 111(4,0, ),( , 1, )ACACAAac BAac 由得，即，12AA 22(2)2ac2240aac于是 11ACBA 2240aac所以.11ACBA （2）设平面的法向量，11BCC B( , , )mx y z则，,即，mCB 1,mCB mBB 10,0m CBm BB 因为，11(0,1,0),(2,0, )CBBBAAac 故，且，0y (2)0axcz令，则，点到平面的距离为xc2za( ,0,2)mcaA11BCC B， 222cos, (2)CA mcCAm CAc mca
12、又依题设，点到平面的距离为，A11BCC B3所以 .3c 代入得（舍去）或.3a 1a 于是，1( 1,0, 3)AA 设平面的法向量，1ABA( , , )np q r则,即.且，1,nAA nAB 10,0n AAn AB 30pr20pq令，则，3p 2 3q 1r ( 3,2 3,1)n 又为平面的法向量，(0,0,1)p ABC故，1cos,4n pn p n p 所以二面角的大小为1AABC1arccos420.（本小题满分 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别是 0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少 3
13、 人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值.解：记表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i=0,1,2.iAB 表示事件：甲需使用设备.C 表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备.E 表示事件：同一工作日 4 人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于 k.（1）122DA B CABAB C.2 2( )0.6,( )0.4,()0.5 ,0,1,2i iP BP CP ACi所以122()()P DP A B CABAB C122()()()P A B CP ABP AB C122()( )( )()( )()( )( )P AP BP CP AP BP AP BP C0.31（2）由（1）知，若，则3k ( )0.310.1P F 又，2EB C A22( )()( )( )()0.06P EP B C AP BP CP A若，则.4k ( )0.060.1P F 所以的最小值为 3.k21. （本小题满分 12 分）解：（），的判别式=36（1-a）.2( )363fxaxx2( )3630fxaxx（）若 a1，则，且当且仅当，故此
