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1、巧解圆中的最值问题求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野.基本模型如图 1、2，平面内有一定点和一动点,点的运动轨迹是圆，连结并延长，APPOAO分别交圆于两点，则为的最小值，为的最大值，即最小值为BC、ABAPACAP，最大值为.AO半径+AO 半径类型 1 定点定长定圆例 1 如图 3，在中，将绕顶点顺时ABC90ACB30ABCABCC针旋转，得到，分别是的中点，连结，则旋转时MNCPQ、ACMN、2AC PQ长度的最大值是( ).PQ(A) (B) (C) (D) 2 62 363分析连结，点是定点，点是
2、动点，欲求长度的最大值，就得知道的运CQPQPQQ动轨迹.在这里，可以利用点是斜边的中点，得出是定值，到定点的距离QRt MNCCQ等于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出长度的最大PQ值为，所以选 D.3PCCQ例 2 (2015 年宁波考纲)如图 4，二次函数的图象交轴于点2(0)yaxbxc ax，交轴于点，过，画直线，并连结.( 1,0)(4,0)AB，y(0,2)CBCAC(1)求二次函数的解析式和直线的解析式.BC(2)点是线段上的一点，过点作内接正方形，使得边落在FBCFABCDEFGDE轴上，点在上，交轴于点.xGAGGFyM求该正方形的边长;将线段
3、延长，交抛物线于点，那么点是的中点吗?请说明理由.EFHFEH(3)在(2)的条件下，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，点始终为的中BFBPCF点，请直接写出线段的最大值.OP分析 (1)二次函数解析式为213222yxx 直线解析式为122yx (2)，不是；10 7(3)本题中，是定点，是动点，取的中点，连结，由题意，得OPBCKBFPK，155(2,1)27PKBFK，所以的运动轨迹是一个以为圆心，为半径的圆，所以的最大值为PK557OP5125577OK 类型 2 定线定角定圆例 3 (2016 年宁波考纲)如图 5，在等腰中，点为等腰Rt ABC2ABBCP所在平面内一点，且满足，则的
4、取值范围为 .Rt ABCPAPBPC分析 根据条件可知线段是定值，且所对的张角是定值，根据同弧所ABABAPB对的圆周角相等可知，动点的运动轨迹在过点三点的圆周上(不与重合).PABP、AB、又因为，所以恰好是直径。连结并延长交圆分别为，90APBABCOO12PP、故最小，最大，所以的取值范围为1CP2CPPC5151PC 例 4 (2013 年武汉中考题)如图 6，、是正方形的边上两个动点，满EFABCDAD足，连结交于点，连结交于点。若正方形的边长为 2，AEDFCFBDGBEAGH则线段长度的最小值是 。DH分析在确定动点的轨迹时，需要我们先去证明。因为，易H90AHBAEDF证，得
5、到，由正方形对称性可知，得ABEDCF DCFABE DAGDCG 到，所以.DCFDAG 90AHB再考虑到、是边上两个动点，所以动点的轨迹是以中点为圆心，EFADHAB为半径的圆，连接，故可求得长度的最小值是.1 2AB1 4ODDH51例 5 (2016 年宁波考纲)如图 7，半径为 3 , 的顶点，在上，ORt ABCABO，点在内，且，当点在圆上运动时，的最小值为（ 90BGO3tan4A AOC）(A) (B) (C) (D) 23 235 3分析 是定点，是动点，确定点的运动轨迹是本题的难点.延长交圆于点OCCAC,E连结并延长，交圆于点，连结.EOFFB因为，所以为定值，即为定
6、值.3tan4A ACBBCE因为半径为 3，所以，符合定线定角定圆这种类型，故点OFA 18 5EB 的运动轨迹是过三点的圆弧且在内部.CBCE，O不妨设圆心为，连结，1O1O E1OO因为1180BCEDOD ，所以1180BCEO易得1=OACBFEB 所以为直角三角形，1EOO且14tan3O 因为3OE 所以11915 44O EOO，所以最小值为113 2OOO E例 6 (2016 年宁波考纲)边长为 3 的等边的顶点在轴的正半轴上移动，顶ABCAx点在射线上移动，则顶点到原点的最大距离为 .BOD30AODCO分析 此题定点是点，动点是点，尽管是确定的，但由于点都是OC3AB
7、AB，在动的，故确定点的运动轨迹时难度仍较大.C不妨换个角度来看问题，正难则反，把正看成是不动的，此时平面直角坐标系ABC在动，原点在运动时满足，而所对的边是不变的，符合定线O30AOBAODAB定角定圆这种类型，所以点的运动轨迹是过点三点的圆弧(优弧上)，取圆OABO，BA心，连结EEAEB，因为，所以 ,30AOB60AEB即是边长为 2 的正三角形，.ABE2 3CE 连结并延长，交圆于点，此时最大，最大值为CEOCO2 32CE 半径从上面的几个例子中可以发现，模型中难度最大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型，但在实际的解题过程中，会遇到各种困难，这时就需要我们利用题目的已知条件，挖掘潜在的结论，把隐藏在里面的圆还原出来.
