《微分方程模型 ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程模型 ppt课件（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微分方程模型,一、数学建模的基本思维过程,转化实际问题1、对要讨论的问题所涉及的重要特征进行合理的数学刻画（转化），即用数学语言对问题涉及到的重要特征进行表述.,2、寻求的实际问题的文字叙述，利用一些原则或定律，将其转化为数学描述。,解数学问题用数学工具求解得到的数学问题。,二、微分方程模型,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑”、等等词语的确定性连续问题。,b、微分方程建模的基本手段 微元法 等,a、微分方程建模的对象,c、微分方程建模的基本规则,1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式变化率（微商）=单位增加
2、量-单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。 2、对问题中的特征进行数学刻画 3、用微元法建立微分方程； 4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）； 5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）； 6、模型和结果的讨论与分析。,三、微分方程的一些案例,案例1 生物种群数量问题,设某生物种群在其适应的环境下生存，试讨论该生物种群的数量变化情况。,问题假设,1、假设该生物种群的自然增长率为常数 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或其他的生物种群的生存不影响该生物种群的生存。 3、假设时刻t生物种群数量为N(t) ，由于N(t)的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。 4、假设在t=0时刻该生物种
3、群的数量为N0,问题分析,问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数，或单位时间内单个个体增加的平均数量。,文字方程改写为符号方程,在t时段种群数量的净增加量=在t+t时刻的种群数量在t时刻的种群数量。,模型建立,Malthus模型,模型求解,容易解得,结果验证,上面的模型的结果与19世纪以前欧洲地区的人口统计数据可以很好吻合；人们还发现 在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合理性。,由于Malthus模型对于19世纪以后的人口统计数据有较大的差异，表明我们的模型存在一些缺陷。实际上随着生物种群数
4、量的增加，自然资源、环境因素等对生物种群数量的阻滞作用越来越明显，换言之，假设1的合理性值得推敲，为此我们将假设1进行修改以对问题做进一步的讨论。,问题的进一步讨论,问题假设,1、假设该生物种群的增长率为种群数量的函数f(N); Nm 为自然资源和环境条件下所能容纳的最大生物种群数量。 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或其他的生物种群的生存不影响该生物种群的生存。 3、假设时刻t生物种群数量为N(t) ，由于N(t)的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。 4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为N0,问题分析,一般说来，在建立数学模型的过程中会经常遇到一些未知函数的情况，对未知函数的处
5、理通常是用线形函数或二次函数来做近似。,设,由假设1有,容易得到,模型建立和求解,Logistic模型,容易解得,结果分析,将此模型同10世纪-本世纪30年代为止的美国人口统计数据作比较，发现吻合得相当好，表明Logistic模型合理地给出了受环境因素制约的生物种群数量变化情况。,问题的再次讨论,注意到前面的两种讨论都仅仅关注了单个种群的数量变化情况，事实上任何生物种群都是生物链中的一环，存在着不可割裂的联系，为此有必要考虑多个生物种群的情况。为简单计，先考虑两个不同种群的情况。,问题假设,1、甲乙两个种群在同一自然环境下争夺有限的同一种食物来源，没有其他种群参与生存竞争；,2、当两个种群独自
6、在同一自然环境中生存时，数量的变化均遵从Logistic模型。即有,其中x1 x2分别为两种生物种群在时刻t的数量，1，2分别为其自然增长率，N1，N2是它们各自的最大容量。,3、当两个种群在同一个自然环境下生存时，乙消耗的同一自然资源对甲的增长产生了阻滞作用，设为,，甲对乙的阻滞作用设为,4、由于生物种群的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。,模型建立,生物种群的相互竞争模型,模型求解,可利用常微分方程稳定性理论对两个生物种群互相竞争的模型进行讨论。,案例2 古尸年代鉴定问题,在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，
7、与 的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？,年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性 同位素 ，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层 大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活 组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，这意味着 在活体中， 的数量与稳定的 的数量成定比， 生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以 每年八千分之一的速度减少。,背景,设 t 为死后年数，,年代测定的修订：,1966年，耶鲁实验室的Minze Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出：在2500到10000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个
8、年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的峰值发生在大约6000年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的2300年到6000年前这期间的年代：真正的年代,二 范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案,第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他
9、的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。,为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。,原理,
10、著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。,设 时刻的原子数为 ，则有,为物质的衰变常数。,初始条件,半衰期,碳-14,铀-238,镭-226,铅-210,能测出或算出，只要知道 就可算出,这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。,断代。,油画中的放射性物质,白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的
11、镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。,（放射性）,（无放射性）,假设,（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。,（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。,建模,设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ，,为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。,为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量,求解,均可测出。,可算出白铅中铅的衰变率 ，再
12、于当时的矿物比较，以鉴别真伪。,矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。,测定结果与分析,若第一幅画是真品，,铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。,同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。,求微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,（二）建立数值解法的一些途径,（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解,微分方程的解析解,结 果：u = tg(t-c),解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）,解
13、输入命令 ：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)；x=simple(x) % 将x化简y=simple(y)z=simple(z),结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2ty = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若
14、干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。,（二）建立数值解法的一些途径,1、用差商代替导数,若步长h较小，则有,故有公式：,此即欧拉法。,2、使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法。,故有公式：,3、使用泰勒公式,以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。,4、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。,k越大，则数值公式的精度越高。,欧
15、拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。,（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,解: 令 y1=x，y2=y1,1、建立m-文件vdp1000.m如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1
16、000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0，tf=3000，输入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-),3、结果如图,解 1、建立m-文件rigid.m如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2、取t0=0，tf=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3、结果如图,图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.,导弹追踪问题,
