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1、高一数学必修一专题复习 第 - 1 -页 /共 58 页 北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 知识架构知识架构 第一讲 集合 集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函 数 及 其 表 示 函 数 基 本 性 质 单 调 性 与 最 值 函 数 的 概 念 函 数 的 奇 偶 性 函 数 的 表 示 法 映射 映 射 的 概 念 集合与函数概念 高一数学必修一专题复习
2、第 - 2 -页 /共 58 页 知识梳理知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的 3 种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 文字语言符号语言 属于 不属于 4.常见集合的符号表示 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集 符号N 或 N N Z Q RC 二： 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 相等集合 A 与集合 B 中的所有元素 都相同 BA 且AB BA 子集A 中任意一元素均为 B 中的元 素 BA 或AB 真子集A 中任意一元素均为 B 中的元 素，且 B 中至少有一元素
3、不是 A 的元素 AB 空集空集是任何集合的子集，是任 何非空集合的真子集 A，B（B） 三：集合的基本运算 两个集合的交集:ABI= x xAxB且; 两个集合的并集: ABU=x xAxB或; 设全集是 U,集合AU,则 U C A x xUxA且 交并补 IU |,ABx xAxBI且 |,ABx xAxBU或 U C A x xUxA且 高一数学必修一专题复习 第 - 3 -页 /共 58 页 方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算. 重、难点突破重、难点突破 重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同
4、表示方法之间的相互转化，准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2集合的表示法 （1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的 性质，如)(xfyx、)(xfyy、)(),(xfyyx等的差别，如果对集合中代表元 素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合 22 1 ,1 , 9432 xyxy MxNy 则M N =（ ） A. ；B. )2 , 0(),0 , 3(；C. 3,3；D. 3,2 错解误以为集合
5、M表示椭圆1 49 22 yx ，集合N表示直线1 23 yx ，由于这直 线过椭圆的两个顶点，于是错选B 正解 C； 显然33xxM，RN ，故3 , 3NM I (3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn图。 3集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A （2）任何集合都是它本身的子集，即AA （3）子集、真子集都有传递性，即若BA ，CB ，则CA 4集合的运算性质 （1）交集：ABBAII；AAAI；IA；ABAI， BBAIBAABAI； 高一数学必修一专题复习 第 - 4 -页 /共 58 页 （2）并集：AB
6、BAUU；AAAU；AAU；ABAU， BBAUABABAU； （3）交、并、补集的关系 ACA U I；UACA U U )()()(BCACBAC UUU UI；)()()(BCACBAC UUU IU 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点一：集合的定义及其关系 题型 1：集合元素的基本特征 例 1（2008 年江西理）定义集合运算：|,A Bz zxy xA yB设 1,2 ,0,2AB，则集合A B的所有元素之和为（ ） A0；B2；C3；D6 解题思路根据A B的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是 A B的元素 解析：正确解答本题,必需清楚集合A B中的元素
7、，显然，根据题中定义的集合运算知 A B=4 , 2 , 0，故应选择 D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点， 这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型 2：集合间的基本关系 例 2数集ZnnX,) 12(与ZkkY,) 14(之的关系是（ ） AXY；BYX； CYX ；DYX 解题思路可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之 间的关系进行判断。 解析 从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果 A 成立，则 D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果 D 成立，则 A、B 中必
8、有一个成立，这也不可能，所以只能是 C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义， 逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。 新题导练 1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京 奥运会比赛的运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员，集合 C=参加北京奥运 会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ） ABA B.CB C.CBAI D. ACBU 解析 D；因为全集为A，而CB U=全集=A 2(2006山东改编）定义集合运算:ByxxyyxBA,zA 22 ,设集合 1,0A , 3 ,
9、 2B,则集合BA的所有元素之和为 解析18，根据BA的定义，得到12, 6 , 0A B，故BA的所有元素之和为 18 高一数学必修一专题复习 第 - 5 -页 /共 58 页 3(2007湖北改编）设P和Q是两个集合，定义集合QPQxPxx且 ,|，如果 1log3xxP，1xxQ,那么QP 等于 解析 31 xx；因为) 3 , 0(1log3xxP，) 1 , 1(1xxQ，所以 )3 , 1 (QP 4研究集合4 2 xyxA，4 2 xyyB，4),( 2 xyyxC之间的关系 解析 A与C，B与C都无包含关系，而BA；因为4 2 xyxA表示 4 2 xy的定义域，故RA ；4
10、2 xyyB表示函数4 2 xy的值域， ), 4B；4),( 2 xyyxC表示曲线4 2 xy上的点集，可见，BA，而 A与C，B与C都无包含关系 考点二：集合的基本运算 例 3 设集合023 2 xxxA，0)5() 1(2 22 axaxxB （1）若2BAI，求实数a的值； （2）若ABAU，求实数a的取值范围若2BAI， 解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 解析因为 2 , 1023 2 xxxA， （1）由2BAI知，B2，从而得0)5() 1(42 22 aa，即 034 2 aa，解得1a或3a 当1a时， 2, 204 2 xx
11、B，满足条件； 当3a时，2044 2 xxxB，满足条件 所以1a或3a （2）对于集合B，由)3(8)5(4) 1(4 22 aaa 因为ABAU，所以AB 当0，即3a时，B，满足条件； 当0，即3a时，2B，满足条件； 高一数学必修一专题复习 第 - 6 -页 /共 58 页 当0，即3a时， 2 , 1 AB才能满足条件， 由根与系数的关系得 7 2 5 521 ) 1(221 2 2 a a a a ，矛盾 故实数a的取值范围是3a 【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要 注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.
12、 新题导练 6若集合RxyyS x ,3，RxxyyT, 1 2 ，则TS I是（ ） A. S；B. T；C.；D. 有限集 解析 A；由题意知，集合RxyyS x ,3表示函数Rxy x ,3的值域，故 集合), 0( S；RxxyyT, 1 2 表示函数Rxxy, 1 2 的值域， ), 1T，故STSI 7已知集合2),(yxyxM，4),(yxyxN，那么集合NM I为（ ） A.1, 3yx；B.) 1, 3( ；C.1, 3 ；D.) 1, 3( 解析D；NM I表示直线2 yx与直线4 yx的交点组成的集合，A、B、C 均不合 题意。 8集合 |10Ax ax , 2 |320
13、Bx xx,且ABBU,求实数a的值. 解析 1 0,1, 2 ；先化简 B 得, 1,2B .由于ABBUAB,故1A或2A. 因此10a 或210a ,解得1a 或 1 2 a . 容易漏掉的一种情况是: A的情形,此时0a . 故所求实数a的值为 1 0,1, 2 . 备选例题 1：已知1xyyM，1),( 22 yxyxN，则NM I中的元素个数是 （ ） A. 0；B. 1；C.2；D.无穷多个 解析选 A;集合M表示函数1 xy的值域,是数集,并且RM ,而集合N表示满足 1 22 yx的有序实数对的集合,即表示圆1 22 yx上的点,是点集。所以，集合M与集 高一数学必修一专题复
14、习 第 - 7 -页 /共 58 页 合N中的元素均不相同，因而NM I，故其中元素的个数为 0 误区分析在解答过程中易出现直线1 xy与圆1 22 yx有两个交点误选 C；或者误认 为1 xy中Ry，而1 22 yx中11y，从而 1 , 1NM I有无穷多个解而 选 D。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和 关键。 备选例题 2：已知集合A和集合B各有 12 个元素，BAI含有 4 个元素，试求同时满足下面 两个条件的集合C的个数： ()CBAU，且C中含有 3 个元素； ()AC I（表示空集） 解法一因为A、B各有 12 个元素，BAI含有 4 个元素， 因此，BAU的元素个数是2041212 故满足条件()的集合C的个数是 3 20 C 上面集合中，还满足AC I的集合C的个数是 3 8 C 因此，所求集合C的个数是1084 3 8 3 20
