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1、1复合函数问题一、复合函数定义：一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：二、复合函数定义域问题：(1)、已知、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f x( )f g x( )思路：设函数的定义域为 D，即，所以的作用范围为 D，又 f 对作用，作用范f x( )xDfg x( )围不变，所以，解得，E 为的定义域。Dxg)(xEf g x( )例例 1. 设函数的定义域为（0，1） ，则函数的定义域为_。f u( )fx(ln
2、)解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）f u( )u ()01，f又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以01lnx解得，故函数的定义域为（1，e）xe()1，fx(ln )例例 2. 若函数，则函数的定义域为_。f xx( ) 1 1f f x( )解析：先求 f 的作用范围，由，知f xx( ) 1 1x 1即 f 的作用范围为，又 f 对 f(x)作用所以，即中 x 应xR x |1f xRf x( )( ) 且1f f x( )满足即，解得x f x 1 1( )xx 1 1 11xx 12且故函数的定义域为f f x( )xR xx |12且（2） 、已知
3、、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f g x( )f x( )思路：设的定义域为 D，即，由此得，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对 x 作f g x( )xDg xE( ) 用，作用范围不变，所以为的定义域。xEE ，f x( )例例 3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_。fx()32x 12，f x( )解析：的定义域为，即，由此得fx()3212，x 12，3215 x，所以 f 的作用范围为，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以15，x 15，2即函数的定义域为例例 4. 已知，则函数的定义域为-f x( )15，f xx x()lg22248f x( )解析：
4、先求 f 的作用范围，由，知f xx x()lg22248x x2280解得，f 的作用范围为，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以，x244()4， x ()4，即的定义域为f x( )()4， （3） 、已知、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f g x( )f h x( )思路：设的定义域为 D，即，由此得，的作用范围为 E，又 f 对作f g x( )xDg xE( ) fh x( )用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。h xE( ) xFf h x( )例例 5. 若函数的定义域为，则的定义域为_。fx()211，fx(log)2解析：的定义域为，即，由此得f
5、x()211，x 11，21 22x ，的作用范围为，又 f 对作用，所以，解得f1 22， log2xlog21 22x ，x 24，即的定义域为fx(log)224，评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题三、复合函数单调性问题（1 1）引理证明）引理证明已知函数已知函数. .若若在区间在区间 ）上是减函数，其值域为）上是减函数，其值域为(c(c，d)d)，又函数，又函数)(xgfy )
6、(xgu ba,(在区间在区间(c,d)(c,d)上是减函数，那么，原复合函数上是减函数，那么，原复合函数在区间在区间 ）上是增函数）上是增函数. .)(ufy )(xgfy ba,(证明：在区间）内任取两个数，使ba,(21,xxbxxa21因为在区间）上是减函数，所以,记, 即)(xgu ba,()()(21xgxg)(11xgu )(22xgu ),(,21, 21dcuuuu且3因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，)(ufy )()(21ufuf)()(21xgfxgf故函数在区间）上是增函数.)(xgfy ba,(（2） 复合函数单调性的判断复合函数单调性的判断复合函数的单
7、调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：)(ufy 增 减 )(xgu 增 减 增 减 )(xgfy 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数）、复合函数的单调性判断步骤：的单调性判断步骤：)(xgfy 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数：与与。)(ufy )(xgu 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函)(xgfy 数），则复合后的函数为减函数
8、。)(xgfy （4）例题演练）例题演练例 1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆)32(log221xxy解：定义域 130322xxxx或单调减区间是 设 则 ), 3( 2121), 3(,xxxx且)32(log12 1 211xxy)32(log22 2 212xxy=)32(12 1xx) 32(22 2 xx) 2)(1212xxxx 312 xx012 xx0212 xx4 又底数 )32(12 1 xx) 32(22 2 xx1210 即 012 yy12yy 在上是减函数奎屯王新敞新疆y), 3( 同理可证：在上是增函数奎屯王新敞新疆y) 1,(例2、讨
9、论函数的单调性.) 123 (log)(2xxxfa解由得函数的定义域为01232 xx.31, 1|xxx或则当时，若，为增函数，为增函数.1a1x1232xxu) 123 (log)(2xxxfa若，为减函数.31x1232xxu为减函数。) 123 (log)(2xxxfa当时，若，则为减函数，若，则10 a1x) 123 (log)(2xxxfa31x为增函数.) 123 (log)(2xxxfa例 3、.已知 y=(2-)在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.alogxa解：a0 且 a1当 a1 时，函数 t=2-0 是减函数xa由 y= (2-)在0，1上 x 的减函数
10、，知 y=t 是增函数，alogxaaloga1由 x0，1时，2-2-a0,得 a2,xa1a2当 00 是增函数奎屯王新敞新疆xa由 y= (2-)在0，1上 x 的减函数，知 y=t 是减函数，alogxaalog0a1奎屯王新敞新疆由 x0，1时，2-2-10, 0a1xa综上述，0a1 或 1a2奎屯王新敞新疆例例 4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设2)3()2(2axaaxxfaRmm),0 , 2(.问是否存在实数使得在区间上是减函)()()(),()(xfxpgxFxffxg)0(pp)(xF)2(,(f数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。)0),2( f解析由已知，
11、得，0)2(mf02)3(2amaam5其中 即，. 0,aRm009232 aa解得.3721 3721a为负整数，a. 1a，1)2(34)2(2xxxxf即 ，. 1)(2xxf242221) 1()()(xxxxffxg. 1) 12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数，使得满足条件，设，)0(pp)(xF21xx .12)()()()(2221222121pxxpxxxFxF，当时，为减函数，3)2(f)3,(,21xx)(xF，0)()(21xFxF. 012)(, 022212221pxxpxx,3, 321xx182221 xx,11612)(2221ppxxp
12、. 0116p当时, 增函数,)0 , 3(,21xx)(xF. 0)()(21xFxF,02221 xx11612)(2221ppxxp.0116p由、可知，故存在161p.161p一指数函数与对数函数 同底的指数函数与对数函数互为反函数；xyalogayx（二）主要方法： 1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论； 3比较几个数的大小的常用方法有：以和 为桥梁；利用函数的单调性；作差01 （三）例题分析：例 1 （1）若，则，从小到大依次为 ；21abalogbb alogbalogab（2）若，且，都
13、是正数，则，从小到大依次为 ；235xyzxyz2x3y5z（3）设，且（，） ，则与的大小关系是 （ ）0x 1xxab0a 0b ab（） （） （） （）A1baB1abC1baD1ab解：（1）由得，故21ababaalogbb alogba1 logab6（2）令，则，235xyzt1t lg lg2tx lg lg3ty lg lg5tz ，；2lg3lglg(lg9lg8)230lg2lg3lg2 lg3tttxy23xy同理可得：， （3）取，知选（） 250xz25xz325yxz1x B例 2已知函数，2( )1xxf xax(1)a 求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根( )f x( 1,) ( )0f x 证明：（1）设，121xx 则1212 12 1222()()11xxxxf xf xaaxx，121212121212223() 11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx，121xx 110x 210x 120xx；12123()0(1)(1)xx xx，且，121xx 1a 12xxaa120xxaa，即，函数在上为增函数；12()()0f xf x12()()f xf x( )f x( 1,) （2）假设是方程的负数根，且，则，0x( )0f x 01x 000201xxax即， 0000
