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1、1 第第 5 5 章章 图形的性质图形的性质 【精学精学】 考点一、多边形的相关概念考点一、多边形的相关概念 1、四边形 在同一平面内,由不在同一直线上的多条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。 2、凸四边形 把多边形的任一边向两方延长,如果其他个边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸四边 形。 3、对角线 在多边形中,连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。设多边形的边数为 n,则多边形的对 角线条数为。 2 )3( nn 4、四边形的不稳定性 三角形的三边如果确定后,它的形状、大小就确定了,这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定 后,它的形状不能确定,这就是四边形所具 有的不稳
2、定性,它在生产、生活方面有着广泛的应用。 5、多边形的内角和定理:n 边形的内角和等于180; )2(n 多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于 360。 6、正多边形的定义及性质: 定义:各个角相等 ,各条边相等的多边形叫做正多边形; 性质:(1)每一个内角的度数为; 2 180n n g() (2)正多边形是轴对称图形,边数为偶数的正多边形也是轴对称图形. 7、平面图形的密铺: (1)密铺的条件:围绕一个点拼在一起的所有角度之和为 360. (2)常见的密铺图形:等边三角形,正方形,正六边形. 考点二、平行四边形考点二、平行四边形 2 1、平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做
3、平行四边形。 平行四边形用符号“ABCD”表示,如平行四边形 ABCD 记作“ABCD” ,读作“平行四边形 ABCD” 。 2、平行四边形的性质 (1)平行四边形的邻角互补,对角相等。 (2)平行四边形的对边平行且相等。 推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。 (3)平行四边形的对角线互相平分。 (4)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为 中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 3、平行四边形的判定 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)定理 1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (3)定理 2:两组对边分别相等的四
4、边形是平行四边形 (4)定理 3:对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)定理 4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两条平行线的距离 两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 5、平行四边形的面积 S 平行四边形=底边长高=ah 【巧练巧练】 题型一、多边形的边和角题型一、多边形的边和角 例 1 (2016云南)若一个多边形的边数为 6,则这个多边形的内角和为 度 【答案】720 【分析】根据多边形的内角和公式求解即可 【解答】解:根据题意得,180(62)=720 故答案为 720 【点评】此题是多边形的内角和外角
5、,主要考差了多边形的内角和公式,解本题的关键是熟记多边形的内 3 角和公式 例 2(2016四川凉山州)一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为 1080,那么原多 边形的边数为( ) A7 B7 或 8 C8 或 9 D7 或 8 或 9 【答案】D 【分析】首先求得内角和为 1080的多边形的边数,即可确定原多边形的边数 【解答】解:设内角和为 1080的多边形的边数是 n,则(n2)180=1080, 解得:n=8 则原多边形的边数为 7 或 8 或 9 故选:D 【点评】多边形切去一个角问题是个典型的分类讨论问题,根据切法不同,原多边形边数不同 题型二、平行四边形的性质与判
6、定题型二、平行四边形的性质与判定 例 3. (2016浙江丽水)如图,ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,已知 AD=8,BD=12,AC=6,则OBC 的周 长为( ) A13 B17 C20 D26 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得出 OA=OC=3,OB=OD=6,BC=AD=8,即可求出OBC 的周长 【解答】解:四边形 ABC D 是平行四边形, OA=OC=3,OB=OD=6,BC=AD=8, OBC 的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17 故选:B 例 4. (20 16浙江省绍兴市)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一 块与原来相
7、同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( ) A, B, C, D, 4 【答案】D 【分析】确定有关平行四边形,关键是确定平行四边形的四个顶点,由此即可解决问题 【解答】解:只有两块角的两边互相平行,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点, 带两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小 故选 D 例 5 (2016江苏苏州)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 D 作对角线 BD 的垂线 交 BA 的延长线于点 E (1)证明:四边形 ACDE 是平行四边形; (2)若 AC=8,BD=6,求ADE 的周长 【分析】 (1)根据平行四边形的判定证明即
8、可; (2)利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是菱形, ABCD,ACBD, AECD,AOB=90, DEBD,即EDB=90, AOB=EDB, DEAC, 四边形 ACDE 是平行四边形; (2)解:四边形 ABCD 是菱形,AC=8,BD=6, AO=4,DO=3,AD=CD=5, 四边形 ACDE 是平行四边形, AE=CD=5,DE=AC=8, ADE 的周长为 AD+AE+DE=5+5+8=18 【点评】平行四边形的性质能给我们提供大量的等角等边关系,在我们处理几何问题时是得力助手。 【限时突破限时突破】 5 1 (2016浙江
9、省舟山)已知一个正多边形的内角是 140,则这个正多边形的边数是( ) A6B7C8D9 2.(2016 湖北十堰)如图所示,小华从 A 点出发,沿直线前进 10 米后左转 24,再沿直线前进 10 米,又 向左转 24,照这样走下去,他第一次回到出发地 A 点时,一共走的路程是( ) A140 米 B150 米 C160 米 D240 米 3.(2016 山东滨州)如图,正五边形 ABCDE 放入某平面直角坐标系后,若顶点 A,B,C,D 的坐标分别是 (0,a) , (3,2) , (b,m) , (c,m) ,则点 E 的坐标是( ) (2,3) B (2,3) C (3,2) D (3
10、,2) 4.(2016 湖北襄阳)如图,在ABCD 中,ABAD,按以下步骤作图:以点 A 为圆心,小于 AD 的长为半径画 弧,分别交 AB,AD 于点 E,F,再分别以点 E,F 为圆心,大于EF 的长为半径画弧,两弧交于点 G;作射 2 1 线 AG 交 CD 于点 H,则下列结论中不能由条件推理得出的是( ) AAG 平分DAB BAD=DH CDH=BC DCH=DH 5 (2016辽宁丹东)如图,在ABCD 中,BF 平分ABC,交 AD 于点 F,CE 平分BCD,交 AD 于点 E,AB=6,EF=2,则 BC 长为( ) 6 A8 B10 C12 D14 6.(2016 河南
11、)如图,在ABCD 中,BEAB 交对角线 AC 于点 E,若1=20,则2 的度数是_. 7.(2016 湖北十堰)如图,在ABCD 中,AB=2cm,AD=4cm,ACBC,则DBC 比ABC 的周长长 13 cm 8.(2016 河北)已知 n 边形的内角和 =(n-2)180. (1)甲同学说, 能取 360;而乙同学说, 也能取 630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数 n.若 不对,说明理由; (2)若 n 边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了 360,用列方程的方法确定 x. 9 (2016江苏省宿迁)如图,已知 BD 是ABC 的角平分线,点 E、F 分别在边 AB、BC
12、上, EDBC,EFAC求证:BE=CF 7 10.(2016 湖北鄂州)如图,ABCD 中,BD 是它的一条对角线,过 A、C 两点作 AEBD,CFBD,垂足分 别为 E、F,延长 AE、CF 分别交 CD、AB 于 M、N。 (1)求证:四边形 CMAN 是平行四边形。 (2)已知 DE4,FN3,求 BN 的长。 【答案解析答案解析】 1.【分析】首先根据一个正多边形的内角是 140,求出每个外角的度数是多少;然后根据外角和定理, 求出这个正多边形的边数是多少即可 【解答】解:360 =36040 =9 答:这个正多边形的边数是 9 故选:D 2.【答案】B. 【解析】 试题分析:已知
13、多边形的外角和为 360,而每一个外角为 24,可得多边形的边数为 36024=15, 所以小明一共走了:1510=150 米故 答案选 B 3.【答案】C. 【解析】 试题分析:已知点 A 坐标为(0,a),可矢瞧 A 在该平面直角坐标系的 y 轴上,又因点 C、D 的坐标为 (b,m,),(c,m) ,可判定点 c、D 关于 y 轴对称,再由正五边形 ABCDE 是轴对称图形,所以该平面直角坐 标系经过点 A 的 y 轴是正五边形 ABCDE 的一条对称轴,即可得点 B、E 也关于 y 轴对称,已知点 E 的坐标 为(3,2),所以点 E 的坐标为(3,2)故答案选. 4.【答案】D. 【
14、解析】 试题分析: 8 由角平分线的作法,依题意可知 AG 平分DAB,A 正确;DAHBAH,又 ABDC,所以BAH =ADH, 所以,DAH =ADH,所以,ADDH,又 AD=BC ,所以,DH=BC ,B、C 正确,故答案选 D. 5.【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出ABF=AFB,得出 AF=AB=6,同理可证 DE=DC=6,再由 EF 的长,即可求出 BC 的长 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,DC=AB=6,AD=BC, AFB=FBC, BF 平分ABC, ABF=FBC, 则ABF=AFB, AF=AB=6, 同理可证:DE=DC=6, E
15、F=AF+DEAD=2, 即 6+6AD=2, 解得:AD=10; 故选:B 6.【答案】110. 【解析】 试题分析:由平行四边形的性质可得 ABCD,所以13=20,根据三角形外角的性质可得 23ABE=20+90=110 考点:平行四边形的性质;三角形外角的性质. 7.【答案】4 【解析】 试题分析:在ABCD 中,已知 AB=CD=2cm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,根据平行四边形的性质得到 13 AB=CD=2cm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,又因 ACBC,根据勾股定理可得 AC=6cm,即可得 OC=3cm, 13 再由勾股定理求得 BO=5cm,所以 BD=10cm,所以DBC 的周长ABC 的周长=BC+CD+BD(AB+BC+AC) =BDAC=106=4cm, 8.【答案】(1)甲对,乙不对,理由见解析;(2)2. 【解析】 9 试题分析:(1)根据多边形的内角和公式判定即可;(2)根据题意列方程,解方程即可. 试题解析:(1)甲对,乙不对. =360,(n-2)180=360, 解得 n=4. =630