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1、- 1 - 立体几何基础题题库（六） （有详细答案） 251. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在的平面外一点，PD面 AC，PD=AD=l，设点 C 到面 PAB 的距离为 d1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2，则（ ） （A）l d1 d2（B）d1 d2l（C）d1l d2（D）d2d1l 解析： ld 2 2 1 ， ld 3 3 2 ，故 d2d1l，选 D。 252.如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动， 点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=a ).20( a （1）求 MN 的长； （2
2、）当a为何值时，MN 的长最小； （3）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。 解析：（1）作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得 MPNQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四边形。 MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 2 BFAC , 21 , 21 aBQaCP , 即 2 a BQCP , 22 )1 (BQCPPQMN )20( 2 1 ) 2 2 () 2 () 2 1 ( 222 aa aa （2）由（1）知: 2 2 2 2 MNa时，当 ， 的中点时，分别移动到即BFACN
3、M, 2 2 的长最小，最小值为MN (3)取 MN 的中点 G，连接 AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BGMN， AGB 即为二面角 的平面角。又 4 6 BGAG ，所以由余弦定理有 3 1 4 6 4 6 2 1) 4 6 () 4 6 ( cos 22 。故所求二面角 ) 3 1 arccos( 。 253. 如图，边长均为 a 的正方形 ABCD、ABEF 所在的平面所成的角为 ) 2 0( 。点 M 在 AC 上， 点 N 在 BF 上，若 AM=FN ,(1)求证:MN/面 BCE ; (2)求证:MNAB; (3)求 MN 的最小值. 解析：(1)如图,作 MG/
4、AB 交 BC 于 G, NH/AB 交 BE 于 H, MP/BC 交 AB 于 P, 连 PN, GH , 易证 MG/NH,且 MG=NH, 故 MGNH 为平行四边 形,所以 MN/GH , 故 MN/面 BCE ; (2)易证 AB面 MNP, 故 MNAB ; AF D B E C N M Q P AB CD E F G H P M N - 2 - (3) MPN 即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角,即 MPN ,设 AP=x , 则 BP=ax , P=ax , 所以： cos)(2)( 22 xaxxaxMN 22 )cos1 ( 2 1 ) 2 )(cos1
5、(2a a x ， 故当 2 a x 时，有最小值 a)cos1 ( 2 1 254.如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动， 点 N 在 BF 上移动，若 CM=x ,BN=y, ).2,0(yx （1）求 MN 的长(用 x,y 表示)；（2）求 MN 长的 最小值，该最小值是否是异面直线 AC，BF 之间的距离。 解析：在面 ABCD 中作 MPAB 于 P，连 PN，则 MP面 ABEF，所以 MPPN，PB=1-AP= x 2 2 在 PBN 中，由余弦定理得：PN2= 022 45cos2) 2 2 (xy
6、yx xyyx 22 2 1 ，在 PMNRt 中，MN= xyyxxPNMP 22222 2 1 ) 2 2 1 ( 12 22 xxyyx).2,0(yx ； （2）MN 12 22 xxyyx 3 1 ) 3 22 ( 4 3 ) 2 ( 22 x x y ，故当 3 22 x ， 3 2 y 时， MN 有最小值 3 3 。且该最小值是异面直线 AC，BF 之间的距离。 255.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 是 DD1 的中点，且截面 EAC 与底面 ABCD 成 450 角， AA1=2a，AB=a， （1）设 Q 是 BB1 上一点，且 BQ 2 a，求证：D
7、Q面 EAC；（2）判断 BP 与面 EAC 是否平行，并说明理由？（3）若点 M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动，并且总保持 AMBP，试 确定动点 M 所在的位置。 解析：（1）证：首先易证 ACDQ，再证 EODQ（O 为 AC 与 BD 的交点）在矩形 BDD1B1 中，可 证EDO 与BDQ 都是直角三角形，由此易证 EODQ，故 DQ面 EAC 得证； （2）若 BP 与面 EAC 平行，则可得 BP/EO，在三角形 BPD 中，O 是 BD 中点，则 E 也应是 PD 中点，但 PD=2 1 DD1=a，而 A B F E C D P N M P A B C D A 1 B
8、 1 C 1 D 1 Q E O N - 3 - ED=DO=2 1 BD= 2 2 1 a，故 E 不是 PD 中点，因此 BP 与面 EAC 不平行； （3）易知，BPAC，要使 AMBP，则 M 一定在与 BP 垂直的平面上，取 BB1 中点 N，易证 BP面 NAC，故 M 应在线段 NC 上。 256.如图，已知平行六面体 1111 DCBAABCD 的底面 ABCD 是菱形， 0 11 60BCDCDCCBC ， （1）证明： BDCC 1 ； （II）假定 CD=2， 2 3 1 CC ，记面 BDC1 为 ，面 CBD 为 ，求二面角 -BD - 的平面角的余弦值； （III）
9、当 1 CC CD 的值为多少时，能使 BDCCA 11 平面 ？请给出证明. 解析：（I）证明：连结 11C A 、AC，AC 和 BD 交于.，连结 OC1 ， 四边形 ABCD 是菱形，ACBD，BC=CD， , 11 DCCBCCQ 可证 DCCBCC 11 ， DCBC 11 ， 故 BDOC 1 ，但 ACBD，所以 1 ACBD面 ，从而 BDCC 1 ； （II）解：由（I）知 ACBD， BDOC 1 ， OCC1 是二面角 BD 的平面角，在 BCC1 中， BC=2， 2 3 1 CC ， 0 1 60BCC ， OCB=60， 1 2 1 BCOB ， 4 9 1 4
10、13 22 1 2 1 OBBCOC ，故 C1O=2 3 ，即C1O=C1C，作 OCHC 1 ， 垂足为 H，点 H 是.C 的中点，且 2 3 OH ，所以 3 3 cos 1 1 OC OH OCC ; （III）当 1 1 CC CD 时，能使 BDCCA 11 平面 证明一： 1 1 CC CD ，所以 CCCDBC 1 ，又 CDCCBCBCD 11 ， 由此可得 DCBCBD 11 ，三棱锥 BDCC 1 是正三棱锥. 257.设 OCCA 11 与 相交于 G.， ACCA/ 11 Q ，且 12 11 ：OCCA ，所以 : 1O C 如图，已知正方体 ABCDA1B1C1
11、D1 的棱长为 a，求异面直线 A1C1 与 BD1 的距离. - 4 - 解析：本题的关键是画出 A1C1 与 BD1 的公垂线，连 B1D1 交 A1C1 于 O，在平面 BB1D1 内作 OMBD1，则 OM 就是 A1C1 与 BD1 的公垂线，问题得到解决. 解 连 B1D1 交 A1C1 于 O，作 OMBD1 于 M. A1C1B1D1，BB1A1C1，BB1B1D1B1. A1C1平面 BB1D1. A1C1OM，又 OMBD1. OM 是异面直线 A1C1 与 BD1 的公垂线. 在直角 BB1D1 中作 B1NBD1 于 N. BB1B1D1B1NBD1，a 2aB1N3a
12、， B1N 3 6 a,OM2 1 B1N 6 6 a. 故异面直线 A1C1 与 BD1 的距离为 6 6 a. 评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线、面垂直的关系后才能 根据题目所给条件灵活作出.本题在求 OM 的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系. 258. 已知：A1、B1、C1 和 A2、B2、C2 分别是两条异面直线 l1 和 l2 上的任意三点，M、N、R、T 分 别是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2 的中点.求证：M、N、R、T 四点共面. 证明 如图，连结 MN、NR，则 MNl1,NRl2，且 M、N、R 不在同一直线上(否则，
13、根据三线平行公 理，知 l1l2 与条件矛盾). MN、NR 可确定平面 ，连结 B1C2，取其中点 S.连 RS、ST，则 RSl2，又 RNl2， N、R、S 三点共线.即有 S，又 STl1，MNl1，MNST，又 S， ST. M、N、R、T 四点共面. GO=2：1 又 OC1 是正三角形 BDC1 的 BD 边上的高和中线,点 G 是正三角形 BDC1 的中心.故 BDCCG 1 面 ， 即 BDCCA 11 面 。 证明二：由（I）知， 1 ACBD面 ， CABD 1 ， 当 1 1 CC CD 时，平行六面体的六个面是全等的菱形.同 CABD 1 的证法可得 CABC 11
14、， 又 1 BCBD ，所以 BDCCA 11 面 。 259. 如果把两条异面直线看成“一对” ，那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中，异面直线共有( ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解析：本题以六棱锥为依托，考查异面直线的概念及判断，以及空间想象能力. 解法一：如图，任何两条侧棱不成异面直线，任何两条底面上的棱也不成异面 直线，所以，每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱，每条侧 棱，可以且只有与 4 条底面上的棱组成 4 对异面直线，又由共 6 条侧棱，所以 异面直线共 6424 对. 解法二：六棱锥的棱所在 12 条直线中，能成异面直线对的两条直线
15、，必定一 - 5 - 条在底面的平面内，另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共 6 条，侧棱所在直线也有 6 条，各取一条 配成一对，共 6636 对，因为，每条侧棱所在的直线，与底面内的 6 条直线有公共点的都是 2 条，所 以，在 36 对中不成异面直线的共有 6212 对.所以，六棱锥棱所在的 12 条直线中，异面直线共有 36- 1224 对. 260. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面 解析：本题考查两条直线的位置关系，异面直线的概念，以及空间想象能力. 解法一：设两条异面直线分别为 l1，l2，则与它们分别相交的两条直线有可能相交，如图 1，也可能异面， 如图 2，它们不可能平行，这是由于：假设这两条直线平行，则它们确定一个平面 ，两条平行线与两 条异面直线 l1 与 l2 的四个交点均在 内，则两异面直线 l1 与 l2 也在 内，这是不可能的.应选 D. 解法二：利用排除法，容易
