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1、- 1 - 立体几何基础题题库(六) (有详细答案) 251. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在的平面外一点,PD面 AC,PD=AD=l,设点 C 到面 PAB 的距离为 d1,点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则( ) (A)l d1 d2(B)d1 d2l(C)d1l d2(D)d2d1l 解析: ld 2 2 1 , ld 3 3 2 ,故 d2d1l,选 D。 252.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a ).20( a (1)求 MN 的长; (2
2、)当a为何值时,MN 的长最小; (3)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。 解析:(1)作 MPAB 交 BC 于点 P,NQAB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,依题意可得 MPNQ,且 MP=NQ,即 MNQP 是平行四边形。 MN=PQ,由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 2 BFAC , 21 , 21 aBQaCP , 即 2 a BQCP , 22 )1 (BQCPPQMN )20( 2 1 ) 2 2 () 2 () 2 1 ( 222 aa aa (2)由(1)知: 2 2 2 2 MNa时,当 , 的中点时,分别移动到即BFACN
3、M, 2 2 的长最小,最小值为MN (3)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,AM=AN,BM=BN,AGMN,BGMN, AGB 即为二面角 的平面角。又 4 6 BGAG ,所以由余弦定理有 3 1 4 6 4 6 2 1) 4 6 () 4 6 ( cos 22 。故所求二面角 ) 3 1 arccos( 。 253. 如图,边长均为 a 的正方形 ABCD、ABEF 所在的平面所成的角为 ) 2 0( 。点 M 在 AC 上, 点 N 在 BF 上,若 AM=FN ,(1)求证:MN/面 BCE ; (2)求证:MNAB; (3)求 MN 的最小值. 解析:(1)如图,作 MG/
4、AB 交 BC 于 G, NH/AB 交 BE 于 H, MP/BC 交 AB 于 P, 连 PN, GH , 易证 MG/NH,且 MG=NH, 故 MGNH 为平行四边 形,所以 MN/GH , 故 MN/面 BCE ; (2)易证 AB面 MNP, 故 MNAB ; AF D B E C N M Q P AB CD E F G H P M N - 2 - (3) MPN 即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角,即 MPN ,设 AP=x , 则 BP=ax , P=ax , 所以: cos)(2)( 22 xaxxaxMN 22 )cos1 ( 2 1 ) 2 )(cos1
5、(2a a x , 故当 2 a x 时,有最小值 a)cos1 ( 2 1 254.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=x ,BN=y, ).2,0(yx (1)求 MN 的长(用 x,y 表示);(2)求 MN 长的 最小值,该最小值是否是异面直线 AC,BF 之间的距离。 解析:在面 ABCD 中作 MPAB 于 P,连 PN,则 MP面 ABEF,所以 MPPN,PB=1-AP= x 2 2 在 PBN 中,由余弦定理得:PN2= 022 45cos2) 2 2 (xy
6、yx xyyx 22 2 1 ,在 PMNRt 中,MN= xyyxxPNMP 22222 2 1 ) 2 2 1 ( 12 22 xxyyx).2,0(yx ; (2)MN 12 22 xxyyx 3 1 ) 3 22 ( 4 3 ) 2 ( 22 x x y ,故当 3 22 x , 3 2 y 时, MN 有最小值 3 3 。且该最小值是异面直线 AC,BF 之间的距离。 255.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,点 P 是 DD1 的中点,且截面 EAC 与底面 ABCD 成 450 角, AA1=2a,AB=a, (1)设 Q 是 BB1 上一点,且 BQ 2 a,求证:D
7、Q面 EAC;(2)判断 BP 与面 EAC 是否平行,并说明理由?(3)若点 M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动,并且总保持 AMBP,试 确定动点 M 所在的位置。 解析:(1)证:首先易证 ACDQ,再证 EODQ(O 为 AC 与 BD 的交点)在矩形 BDD1B1 中,可 证EDO 与BDQ 都是直角三角形,由此易证 EODQ,故 DQ面 EAC 得证; (2)若 BP 与面 EAC 平行,则可得 BP/EO,在三角形 BPD 中,O 是 BD 中点,则 E 也应是 PD 中点,但 PD=2 1 DD1=a,而 A B F E C D P N M P A B C D A 1 B
8、 1 C 1 D 1 Q E O N - 3 - ED=DO=2 1 BD= 2 2 1 a,故 E 不是 PD 中点,因此 BP 与面 EAC 不平行; (3)易知,BPAC,要使 AMBP,则 M 一定在与 BP 垂直的平面上,取 BB1 中点 N,易证 BP面 NAC,故 M 应在线段 NC 上。 256.如图,已知平行六面体 1111 DCBAABCD 的底面 ABCD 是菱形, 0 11 60BCDCDCCBC , (1)证明: BDCC 1 ; (II)假定 CD=2, 2 3 1 CC ,记面 BDC1 为 ,面 CBD 为 ,求二面角 -BD - 的平面角的余弦值; (III)
9、当 1 CC CD 的值为多少时,能使 BDCCA 11 平面 ?请给出证明. 解析:(I)证明:连结 11C A 、AC,AC 和 BD 交于.,连结 OC1 , 四边形 ABCD 是菱形,ACBD,BC=CD, , 11 DCCBCCQ 可证 DCCBCC 11 , DCBC 11 , 故 BDOC 1 ,但 ACBD,所以 1 ACBD面 ,从而 BDCC 1 ; (II)解:由(I)知 ACBD, BDOC 1 , OCC1 是二面角 BD 的平面角,在 BCC1 中, BC=2, 2 3 1 CC , 0 1 60BCC , OCB=60, 1 2 1 BCOB , 4 9 1 4
10、13 22 1 2 1 OBBCOC ,故 C1O=2 3 ,即C1O=C1C,作 OCHC 1 , 垂足为 H,点 H 是.C 的中点,且 2 3 OH ,所以 3 3 cos 1 1 OC OH OCC ; (III)当 1 1 CC CD 时,能使 BDCCA 11 平面 证明一: 1 1 CC CD ,所以 CCCDBC 1 ,又 CDCCBCBCD 11 , 由此可得 DCBCBD 11 ,三棱锥 BDCC 1 是正三棱锥. 257.设 OCCA 11 与 相交于 G., ACCA/ 11 Q ,且 12 11 :OCCA ,所以 : 1O C 如图,已知正方体 ABCDA1B1C1
11、D1 的棱长为 a,求异面直线 A1C1 与 BD1 的距离. - 4 - 解析:本题的关键是画出 A1C1 与 BD1 的公垂线,连 B1D1 交 A1C1 于 O,在平面 BB1D1 内作 OMBD1,则 OM 就是 A1C1 与 BD1 的公垂线,问题得到解决. 解 连 B1D1 交 A1C1 于 O,作 OMBD1 于 M. A1C1B1D1,BB1A1C1,BB1B1D1B1. A1C1平面 BB1D1. A1C1OM,又 OMBD1. OM 是异面直线 A1C1 与 BD1 的公垂线. 在直角 BB1D1 中作 B1NBD1 于 N. BB1B1D1B1NBD1,a 2aB1N3a
12、, B1N 3 6 a,OM2 1 B1N 6 6 a. 故异面直线 A1C1 与 BD1 的距离为 6 6 a. 评析:作异面直线的公垂线一般是比较困难的,只有熟练地掌握线、线垂直,线、面垂直的关系后才能 根据题目所给条件灵活作出.本题在求 OM 的长度时,主要运用中位线和面积的等量关系. 258. 已知:A1、B1、C1 和 A2、B2、C2 分别是两条异面直线 l1 和 l2 上的任意三点,M、N、R、T 分 别是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2 的中点.求证:M、N、R、T 四点共面. 证明 如图,连结 MN、NR,则 MNl1,NRl2,且 M、N、R 不在同一直线上(否则,
13、根据三线平行公 理,知 l1l2 与条件矛盾). MN、NR 可确定平面 ,连结 B1C2,取其中点 S.连 RS、ST,则 RSl2,又 RNl2, N、R、S 三点共线.即有 S,又 STl1,MNl1,MNST,又 S, ST. M、N、R、T 四点共面. GO=2:1 又 OC1 是正三角形 BDC1 的 BD 边上的高和中线,点 G 是正三角形 BDC1 的中心.故 BDCCG 1 面 , 即 BDCCA 11 面 。 证明二:由(I)知, 1 ACBD面 , CABD 1 , 当 1 1 CC CD 时,平行六面体的六个面是全等的菱形.同 CABD 1 的证法可得 CABC 11
14、, 又 1 BCBD ,所以 BDCCA 11 面 。 259. 如果把两条异面直线看成“一对” ,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有( ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解析:本题以六棱锥为依托,考查异面直线的概念及判断,以及空间想象能力. 解法一:如图,任何两条侧棱不成异面直线,任何两条底面上的棱也不成异面 直线,所以,每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱,每条侧 棱,可以且只有与 4 条底面上的棱组成 4 对异面直线,又由共 6 条侧棱,所以 异面直线共 6424 对. 解法二:六棱锥的棱所在 12 条直线中,能成异面直线对的两条直线
15、,必定一 - 5 - 条在底面的平面内,另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共 6 条,侧棱所在直线也有 6 条,各取一条 配成一对,共 6636 对,因为,每条侧棱所在的直线,与底面内的 6 条直线有公共点的都是 2 条,所 以,在 36 对中不成异面直线的共有 6212 对.所以,六棱锥棱所在的 12 条直线中,异面直线共有 36- 1224 对. 260. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面 解析:本题考查两条直线的位置关系,异面直线的概念,以及空间想象能力. 解法一:设两条异面直线分别为 l1,l2,则与它们分别相交的两条直线有可能相交,如图 1,也可能异面, 如图 2,它们不可能平行,这是由于:假设这两条直线平行,则它们确定一个平面 ,两条平行线与两 条异面直线 l1 与 l2 的四个交点均在 内,则两异面直线 l1 与 l2 也在 内,这是不可能的.应选 D. 解法二:利用排除法,容易