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1、129第八章 无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个 无穷级数问题引起争论。例如：LL1) 1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种0) 11 () 11 () 11 (LL第二种1) 11 () 11 () 11 (1LL第三种设SnLL1) 1(1111则SL11111,1SS , 12S21S这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1)什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2)无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3)无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念
2、和性质需要作详细的讨论。 8.1 常数项级数（1）内容要点内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数依次相加所得到的表达式称LL,321nuuuuLLn nnuuuuu321 1为数项级数（简称级数） 。（）称为级数的前 n 项的部分和， nkknuS1123nuuuuLL, 3 , 2 , 1n称为部分和数列。 ), 3 , 2 , 1(LnSn130SuS，uS，Snnnnnn11)(lim记以且其和为是收敛的则称级数存在若不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义nnS lim若1nnu下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要
3、求。 ）2 基本性质 （1） 如果11111)(,nnnnnnnnn nnvbua，bvau，b，avu且等于收敛则为常数皆收敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不 变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数 的情形就不同。（4） 级数1nnu 收敛的必要条件是0lim nnu（注：引言中提到的级数，因此收敛级数的必要条件不11,) 1(nn具有 nlim 不存在11n满足，发散。调和级数满足却是发散的，所以1n 11n1nn1nlim但, 01n1n
4、n1满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。 ） nlim0nu1nnu3两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数）0nnar0a当时，收敛1r0nnarra 1当时，发散1r0nnar131（2）p 一级数11npn当 p1 时，收敛，当 p1 时发散11npn11npn（注：p1 时，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知）11npn1n6122n二、正项级数敛散性的判别法则称为正项级数，这时是单调L, 3 , 2 , 10nun若1nnu nnnSnSS所以L, 3 , 2 , 11加数列，它是否收敛就只取决于是否有上界，因此有上界，这是正项级nS1nnnSu收敛数 比较判别法的基
5、础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1. 比较判别法收敛，则收敛；如果发如果皆成立时当设，u，cvNncnn0, 01nnv1nnu1nnu散，则发散。1nnv2. 比较判别法的极限形式设若), 3 , 2 , 1( , 0, 0LnvunnnlimAvunn1)当 00，而nu nlimnn uu11） 当1 时(包括=+)，则发散1nnu3） 当=1 时，此判别法无效（注：如果不存在时，此判别法也无法 nlimnn uu1用） 4根值判别法（柯西）设0，而nu nlimnnu1） 当1 时(包括=+)，则发散1nnu3） 当=1 时，此判别法无效 事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比
6、级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级 数的形状有不同的选择，但它们在=1 情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法， 但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1交错级数概念若0,称为交错级数。nu1nnnu1) 1(2莱布尼兹判别法设交错级数满足：1nnnu1) 1(1331）1nunu), 3 , 2 , 1(Ln2) =0 ，则收敛，且 01 时，是绝对收敛的1nnn 1) 1(2） 当 01 时，级数收敛。1n nx:( )1n nfxxnx证记10( )0nxfxnxn当时,( )0,.nfx故在上单调增加(0)10,(1)0,nnffn 而由连续函数的
7、介值定理知10n nxnxx 存在唯一正实根100n nnnxnxx 由与知137110,n n nxxnn110( )nxn故当时,11( )nn而正项级数收敛,所以当1 时，级数收敛。1n nx 8.2 幂级数（甲）内容要点 一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一） 1 函数项级数的概念设皆定义在区间 I 上，则称为区间 I 上的函数项级数。)(xun), 3 , 2 , 1(Ln1n)(xun2 收敛域设，如果常数项级数收敛，则称是函数项级数的收敛点，如果0x1n)(0xun0x1n)(xun发散，则称是的发散点。函数项级数的所有收敛点构成的集1n)(0xun0x1n)(xun1n)(
8、xun合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。3 和函数在的收敛域的每一点都有和，它与有关，因此，收敛域1n)(xunx)(xS1n)(xunx称为函数项级数的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。)(xS1n)(xun二、幂级数及其收敛域 1 幂级数概念138称为的幂级数，称为幂级数的系数，是常数，当0nnanxx)(0)(0xx ), 2 , 1 , 0(Lnan时，称为的幂级数。一般讨论有关问题，作平移替换就可以得出00x0nnanxx0nnanx有关的有关结论。0nnanxx)(02幂级数的收敛域幂级数的收敛域分三种情形：0nnanx（1）收敛域为，亦即对每一个皆收敛，我们
9、称它的收敛半径),(0nnanxxR（2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数皆发散，我们称它的收敛半径。0nnanx0R（3）收敛域为 R，RRRRRRRR我们称它的收敛半径为中的一种或或或,),()0( R所以求幂级数的收敛半径非常重要， （1） （2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，R 还需讨论两点上的敛散性。R11lim()lim(),(,nnnnnnalalRlal 如果包括或包括则收敛半径若0,0),RlR 则若则如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛.半径, 后面有所讨论三、幂级数的性质 1 四则运算设0nnanx021),(;),(nn nRxxgxbRxxf139
10、),min()()()()(),min(),()()(21 000 0021 0RRxxgxfxbababaxbxaRRxxgxfxbann nknkn nn n nn nnn nnLL则2. 分析性质设幂级数的收敛半径 0，S() = 为和函数，则有下列重要性质。0nnanxRx0nnanx（1）且有逐项求导公式内可导在，RRxS),()(求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出)(xS0110)()(nnn nn n nn nxnaxaxa公式为内有任意阶导数在，RRxS),()(), 3 , 2 , 1(,) 1() 1()()(LLkRxxaknnnxSknkn nk（2）内有逐项积分公式
11、在),()(RRxS幂级数的收敛半径也不变。 000101)(nxnnnn nx xnadttadttS且这个（3）若0nnanx:)()(则有下列性质成立在，RRxxS(i) ()00lim( )( lim( )()nn nnxRxRnnS xa RS xaR 成立成立(ii)(1)(1)(001001 RnnnRnnnRnadxxSRnadxxS成立成立(iii)11)(nn nRRxxna不一定收敛在11( ).()n n nna xSRSR 也即不一定成立1400()n n na xxRR如果在发散,那么逐项求导后的级数11()n n nna xxRR 在一定发散,而逐项积分后的级数1
12、0().1nnnaxxRRn 在有可能收敛四、幂级数求和函数的基本方法 1把已知函数的幂级数展开式（ 8.3 将讨论）反过来用。 下列基本公式应熟背：01(1)11nnxxx0(2)!n xnxexn 210(3)( 1)sin ,(21)!n nnxxxn 20(4)( 1)cos ,(2 )!n nnxxxn 10(5)( 1)ln(1), ( 11)1n nnxxxn 1(1)(1)(6) 1(1) ,11()!nnnxxxn L为实常数2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式 3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。五、利用幂级数求和函数得出有关常
13、数项级数的和 （乙）典型例题 例 1 求下列幂级数的和函数。（1）（2）0) 12(nnnx021) 1(nnnnx解：（1）可求出收敛半径 R=1, 收敛域为（-1，1）141000( )(21)2nnnnnnS xnxnxx110121x nnxntdtx 11122111nnxxxxxxx22211( 1,1)(1)1(1)xxxxxx （2）可以从求出和函数后，看出其收敛域2200(1)2(1)( )11nnnnnnS xxxnn0001(1)441nnnnnnnxxxn12 004( )(1),( )41,1nnnnS xnxSxxxx令3 01( )41nnSxxn1 1 0000( )(1)11xx nnnnxS t dtnt dtxxx 121( )()11(1)xS xxxx1 1 3 011( 1)()( )441nn nnnxxSxxnn 4ln(1)( 11)xx 11( 1)ln(1)( 11)nnntttn 这里用到公式1421232144( )( )( )( )ln(1)(1)1S xS xSxSxxxxx于是2434ln(1)( 1,1)0(1)xxxxxx 且00,(0)1,xSa从上面运算也看先要假设但20043ln(1)lim ( )
