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1、第五节合情推理与演绎推理1合情推理(1)归纳推理：定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点：类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理(1)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性
2、试一试1数列 2,5,11,20，x,47，中的 x 等于( )A28 B32C33 D27解析：选 B 由 523,1156,20119.则 x2012，因此 x32.2 “因为指数函数 yax是增函数(大前提)，而 yx是指数函数(小前提)，所以 y(13)x是增函数(结论)” ，上面推理的错误是( )(13)2A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提都导致结论错解析：选 A yax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命
3、题(猜想)；检验猜想实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；检验猜想观察、比较联想、类推猜想新结论练一练在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_解析： .V1V213S1h113S2h2(S1S2)h1h2141218答案：18考点一类比推理1.给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：“若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“a，cC，则 ac0a
4、c” ；“若 a，b，c，dR，则复数 abicdiac，bd”类比推出“a，b，c，dQ，则 abcdac，bd ” ；22“a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab” ；“若 xR，则|x|11x1”类比推出“若 zC，则|z|11z1” 3其中类比结论正确的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 B 类比结论正确的有.2在平面几何里，有“若ABC 的三边长分别为 a，b，c 内切圆半径为 r，则三角形面积为 SABC (abc)r” ，拓展到空间，类比上述结论， “若四面体 ABCD 的四个面的12面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体
5、的体积为_” 解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中 类比为三维图形中的 ，得 V四面体1213ABCD (S1S2S3S4)r.13答案：V四面体 ABCD (S1S2S3S4)r13类题通法类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问
6、题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移考点二归纳推理典例 (1)(2013陕西高考)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律， 第 n 个等式可为_(2)已知函数 f(x)(x0)如下定义一列函数：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)xx2f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，nN*，那么由归纳推理可得函数 fn(x)的解析式是 fn(x)4_.解析 (1)观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式为
7、：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(2)依题意得，f1(x)，xx2f2(x)，xx2xx22x3x4x221x22f3(x)，x3x4x3x42x7x8x231x23由此归纳可得 fn(x)(x0)x2n1x2n答案 (1)(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(2)(x0)x2n1x2n类题通法归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳针对训练下面
8、图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4 的规律，并依此规律，写出第 n 个图形中小正方形的个数是_解析：由图知第 n 个图形的小正方形个数为 123n.总个数为.nn125答案：nn12考点三演绎推理典例 数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1Sn(nN*)证明：n2n(1)数列是等比数列；Snn(2)Sn14an.证明 (1)an1Sn1Sn，an1Sn，n2n(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)Sn1n1Snn故是以 2 为公比，1 为首项的等比数列(结论)Snn(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知4(n2)，Sn1n1Sn
9、1n1Sn14(n1)4Sn14an(n2)(小前提)Sn1n1n12n1又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)类题通法演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，一般可找一
10、个使结论成立的充分条件作为大前提针对训练如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，BFDA，且DEBA.求证：EDAF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)证明：(1)同位角相等，两条直线平行， (大前提)6BFD 与A 是同位角，且BFDA， (小前提)所以 DFEA. (结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形， (大前提)DEBA 且 DFEA， (小前提)所以四边形 AFDE 为平行四边形(结论)(3)平行四边形的对边相等， (大前提)ED 和 AF 为平行四边形的对边， (小前提)所以 EDAF. (结论)上面的证明可
11、简略地写成：Error!四边形 AFDE 是平行四边形EDAF.课堂练通考点1(2018 合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析：选 C 因为 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确. 2给出下列三个类比结论(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay 与 sin()类比，则有 sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个
12、数是( )A0 B1C2 D3解析：选 B 只有正确3观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10( )7A28 B76C123 D199解析：选 C 记 anbnf(n)，则 f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现 f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以 a10b10123.4(2013青岛期末)如果函数 f(x)
13、在区间 D 上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意x1，x2，xn，都有f.若 ysin x 在区间(0，)上fx1fx2fxnn(x1x2xnn)是凸函数，那么在ABC 中，sin Asin Bsin C 的最大值是_解析：由题意知，凸函数满足f，fx1fx2fxnn(x1x2xnn)sin Asin Bsin C3sin3sin .ABC333 32答案：3 325设等差数列bn的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论设等比数列an的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，成等比数T16T12列解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数
14、列an的前 n 项积为 Tn，则T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，所以a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，所以 T4， ，的公比为 q16，因T8T4T12T8T16T12T8T4T12T8T16T12此 T4， ，成等比数列T8T4T12T8T16T12答案： T8T4T12T86(2014山西四校联考)已知 x(0，)，观察下列各式：x 2，x 1x4x2x2x23，x 4，类比得 xn1(nN*)，则 a_.4x227x3x3x3x327x3axn8解析：第一个式子是 n1 的情况，此时 a111；第二个式子是 n2 的情况，此时a224；第三个式子是 n3 的情况，此时 a3327，归纳可知 ann.答案：nn课下提升考能第组：全员必做题1推理“矩形是平行四边形；三角形不是平
