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1、错解剖析得真知（三十三）错解剖析得真知（三十三）第十一章第十一章 数系的扩充与复数数系的扩充与复数11.111.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念一、知识导学一、知识导学1. 复数：形如的数（） ，复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部， 称做虚数单位.2. 分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当 b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.6. 复数的
2、模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值） ，记作.(1)；(2)=；(3)；7共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2则，而，则不一定成立，如时；3，而则不一定成立；4若不一定能推出；5若，则=，但若则上式不一定成立.三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例11两个共扼复数的差是（ ）.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数错解错解: :当得到时就错误的选 B，忽略了 b 可以为零的条件.正解：正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或当时，为纯虚数当时，因此应选 D.
3、注：注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质. 例例22判断下列命题是否正确(1)若, 则(2)若且，则(3)若，则错解：错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解：正解：(1)错，反例设则(2)错，反例设，满足，但不能比较大小.(3)错，故，都是虚数，不能比较大小.例例3实数分别取什么值时，复数是(1)实数
4、；(2)虚数;(3)纯虚数.解：实部，虚部.（1）当 时，是实数；（2）当 ，且 时，是虚数；（3） 当 或 时是纯虚数 例例44 设，当取何值时，(1) ; (2).分析分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出的值解解：(1)由可得：解之得，即：当 时 (2)当 可得：或 ，即 时. 例例55是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明OPQ 为直角三角形（O是坐标原点） ，并求两锐角的度数分析分析 本题起步的关键在于对条件的处理等式左边是关于的二 次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方解解：由（，不为零） ，得即向量与向量的夹角为，在图中，又，设，在OPQ 中，由余弦定理OPQ 为直角三角形，四、典型习题导练四、典型习题导练1.1. 设复数z满足关系，那么z等于（ ） A B C D2 2.复数系方程有实数根，则这个实数是.3.3. 实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上 的对应点位于第二象限4.已知且求复数.5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求的值.
