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1、第二节 导数在研究函数中的应用,第四章 导数及其应用,课前自主学案,知识梳理,1函数的导数与函数的单调性的关系 （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么函数y=f(x)在这个区间内为 增函数；如果在这个区间内y0,则f(x)在相应区间内为增函数；若f(x)3 Ba1/3 Da1/3,A 解析：易求得f(x)=3 +aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f(x)=3 +aeax=0有正根，当有f(x)=3 +aeax=0成立时，显然有a 0我们马上就能得到参数a的范围为a0, e2xe0=1, 2(e2x-1)0,即f(x) 0. f(
2、x)=e2x-1-2x在（0，+）上是增函数. f(0)=e0-1-0=0. 当x0时，f(x)f(0)=0,即e2x-1-2x0. 1+2x1，证明不等式：xln(1+x)； 证明：令f(x)=x-ln(1+x)，则x1, f(x) 0, f(x)在(1,+)上为增函数， 当x1时, f(x)f(1), 即x-ln(1+x)1-ln20, xln(1+x).,（2008年江苏卷）某地有三家 工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、 B及CD的中点P处，已知AB=20 km， BC=10 km，为了处理三家工厂的污 水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处
3、理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm.（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；,设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短. 解析：（1）由条件知PQ垂直平分AB，若BAO=(rad)，则 ， 故 ， 又OP=1010 tan， 所以 ，,所求函数关系式为 ；若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以，所求函数关系式为 （2）选择函数模型，,令y=0得 当 时y0，y是的增函数； 所以当 时， ， 此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边
4、 km处.,变式探究,4. （2008年广东卷）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房. 经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用， ,温馨提示,1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0（或f(x)f(x1).,（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.,（5）可
5、导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点.（6）函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导.如函数y=|x|在x=0有极小值，但在x=0处不可导,即导数不存在.5.对于函数的最值问题，应注意以下几点：（1）在闭区间a,b上图象连续不断的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值 （2）在开区间(a,b)内图象连续的函数f(x)不一定有最,大值与最小值如函数 在(0,+)内连续，但没有最大值与最小值.（3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的（4）函数f(x)在闭区间a,b上的图象连续不断，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件如函数 在1,1上有最大值，最小值，（最大值是0，最小,值是-2），但其图象却不是连续不断的（如下图）.,(5)函数在其定义区间上 的最大值、最小值最多各有 一个，而函数的极值可能不 止一个，也可能没有一个.（6）若函数f(x)只有一个 极值，则必为最值.若函数f(x)在闭区间a,b上递增，则f(x)min=f(a)，f(x)max =f(b)；若函数f(x)在闭区间a,b上递减，则f(x)min=f(b)，f(x)max=f(a).,
