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1、1第十一章第十一章 无无穷级穷级数数11.1 常数常数项级项级数的概念和性数的概念和性质质内容概要内容概要名称主要内容常数项级数（为常数）1nnunu常数项级数的收敛性若则收敛， （:前项部分和）, ssn n 1nnunsn常数项级数常用的性质1. ，收敛收敛,且0nnu0nnv )(0nnnvu000)(nn nn nnnvuvu2. 则与同收同发0k0nnku0nnu3. 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.1nnu4收敛(收敛的必要条件)0nnu0lim nnu常用的结论当时收敛其和为，当时发散.0nnar1 rra 11 r例例题题分析分析1. 已给级数，1) 12)(12(
2、1nnn1)写出此级数的前二项,;1u2u2)计算部分和,;1s2s3)计算第项部分和;n1s4)用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和.知知识识点：点：前项部分和,常数项级数的收敛性.nns2解：解： 1) ,311 ) 12)(12(11u531 ) 14)(14(12u2) ;3111 us)511 (21)51 31(21)311 (21 531 31212uus3)121 121(21 ) 12)(12(1 nnnnun)1211 (21)121 121(21)51 31(21)311 (2121nnnuuusnn4) ,收敛,其和为 .21)1211 (21limlim n
3、s nnn1) 12)(12(1nnn21s2. 求常数项级数之和.1 10aannn知知识识点：点：前项部分和.nns思路思路: 利用 1) 1( 110nn nnanan0nnarra 11 r解：解： 令 12321nnan aas1 a则23132nnnan an aaas以上两式相减得 1221111) 1(nnnan aaaasa即)1111 (11 1122nnnan aaaaaas)1111 (11 111 nnanaa aaa,，.nns lim)111(11 1 aaaa22) 1( aa01nnan22) 1( aa1 a注：注：利用等比级数 判别级数的收敛性及求和是常用
4、的方法.0nnarra 11 r1nnu3设收敛,讨论下列级数的敛散性:1nnu31) 2) ; 3) .; )0001. 0(1nnu 11000 nnu11nnu知知识识点：点：常数项级数的收敛性.思路思路: 利用常数项级数的性质.解：解：1) 00001. 00001. 0lim)0001. 0(lim nnnnuu发散.1)0001. 0(nnu注：注： ，则发散是判别级数发散常用的方法.0lim nnu1nnu2) 常数项级数的性质: 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.1nnu去掉前 1000 项得的级数仍收敛1nnu 11000 nnu3) ,发散.01lim nnu11
5、nnu课课后后习题习题全解全解习题习题 11-1 1.写出下列级数的前五项：(1) (2)1211nnn 1242) 12(31nnn(3) (4)113) 1(nnn1!nnnn解：解：(1).222225151 4141 3131 2121 1111133 175 52 531(2).10864297531 384105 4815 83 21(3) .543231 31 31 31 31(4) 54325! 5 4! 4 3! 3 2! 212.写出下列级数的一般项：(1) (2) 67 56 45 34 23 12368 277 166 95 44 134(3) (4)864264242
6、22xxxxx97535432aaaa(5) (6)61541321144 33 22172 102 52 22xxxx解：解：(1) .)3 , 2 , 1( 1) 1(1) 1(11nnn nnunn n(2).)3 , 2 , 1( !2) 1(nnnun n(3) .)3 , 2 , 1( !)!2()2(64222 nnx nxunnn(4) .)3 , 2 , 1( 12) 1(12) 1(1 11 1 nna naun nn n n(5) .)3 , 2 , 1( 2112nnnun(6) .)3 , 2 , 1( 122nxnunnn3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收
7、敛性:(1) ; (2);)122(1nnnn) 15)(45(1 1161 611 nn(3).6sin63sin62sin6sinn解：解：(1) .nnnnnnnun11121122121121)11121( )231341()121231(nnnnnnsn所以,原级数收敛.121lim nns(2) .)151 451(51 ) 15)(45(1 nnnnun5)1511 (51)151 451(51)111 61(51)611 (51 nnnsn所以,原级数收敛.51lim nns(3) ,6sin62sin6sinnsn12) 12cos(12) 12cos(12sin21 6si
8、n kkk)125cos123(cos)123cos12(cos12sin21 ns)12) 12cos(12) 12(cos( nn12) 12cos(12cos12sin21 n所以,原级数发散.不不不nns lim注：注：另解16)36(sin, 066sin366kukukk1lim, 0lim366kkkkuu所以不存在，原级数发散.nnu lim4.判定下列级数的收敛性:(1) (2)nn n 98) 1(98 98 983322 n31 121 91 61 31(3) (4)1)1 (3nnnnn121cos1nnn(5) (6);31 22ln1 n nnn11)1(nnnnn
9、nn解：解：(1)此为等比级数，因公比，且，故此级数收敛于98q1q1799811 11 q(2) 级数的一般项：,由调和级数发散和级数的性质，知题设级数发散.nun1 3111nn6(3) 原级数发散.03)11 (3lim)1 (3limlim e nnnu nnnnnnn(4) , 原级数发散.021 21lim1cos1limlim222 nnnnu nnnn(5)均为等比级数且公比分别为1131,22lnnn nnn 131122ln21q，q均收敛， 故原级数收敛.1131,22lnnn nnn n nnn31 22ln1(6). 原级数发散.01 )11 (lim )1(liml
10、im211 nnnnnnnnnnnnnnu5.求级数的和.1)2)(1(1nnnn解：解：.)21 121(21 )2)(1(1 nnnnnnun41s lim)21 11 21(21)21 12 11 21 221 (21)21 121(21)51 42 31(21)41 32 21(21)31 221 (21nnsnnnnnnnnsn6.求常数项级数之和.13nnn解：解：, nnns333 323132132334 333213 nnns(上两式相减)nnnns331 31311212nnn 3311311 .43)3311311 ( lim21s lim3nn 1 nnnnnnn77.
11、设级数的前项和为，求级数的一般项1nnannnnsn1 11na及和.s解：解：,111 1111nnnsnnnnssannn1 21 1211且.2ln1111 111 n1lims lim10 dxx nn ns nnn8.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性：(1) ； (2) ； (3).11) 1(nnn12sinnnnx nnn1cos11解：解：(1)对于任意自然数，因为p )( )1 11()31 21(11)( 1)51 41()31 21(111) 1(21 11) 1( 2) 1( 1) 1(113221不不不不不不ppnpnnnnppnnnnnnpnnnpnnnuuuppnnnpnnn（令解得）11 n,11n11n故不妨设当时，对于任意自然数，都有, 0, 0 11, 1NNn p1121nuuupnnn由柯西审敛原理，知所给级数收敛.(2) 对于任意自然数，因为pnpnpnpnnnpnnnpnnnxpnxnxnxpnxnxnuuu21)211 (21)21 21 21(212)sin( 2)2sin( 2) 1sin(2)sin( 2)2sin( 2) 1sin(2212121故不妨设当时，对于任意自然数，都有, 0, 02lnln, 1NN
