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1、1 概率统计：2007 年考题 一、填空题 1.在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的) 1,0( 绝对值小于 的概率 。 2 1 提示：这两个数为与，则与相互独立均服从区XYXY 间上的均匀分布，那么服从矩形区域) 1,0(),(YX 上的均匀分布，则。10 , 10:yxD 4 3 2 1 YXP 答案： . 4 3 二、单项选择题 1.某人向一目标独立重复射击，每次射击命中目标的 概率为，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目) 10( pp 标的概率为（ ） A.B. 2 )1 (3pp 2 )1 (6pp C. D. 22 )1 (3pp 22 )1 (6pp 提示：第 4 次射
2、击恰好第 2 次命中目标表示前 3 次射 击恰好命中 1 次，第 4 次一定命中。答案：C. 2.随机变量服从二维正态分布，且与不相关，),(YXXY ，分别表示，的概率密度，则在的条)(xfX)(yfYXYyY 件下，的条件概率密度为（ ）X A.B.C.D.)(xfX)(yfY)()(yfxf YX )( )( yf xf Y X 提示：由于随机变量服从二维正态分布，且与),(YXX 不相关，那么与独立，则，所以，YXY)()(),(yfxfyxf YX 。答案：A.)( )( ),( )|( | xf yf yxf yxf X Y YX 2 三、 （13 分）设维随机变量与相互独立同分布
3、，XY 且的概率分布为X X 12 P 3 2 3 1 记，,maxYXU ,minYXV （1）求的概率分布；（2）求与的协方差。),(VUUV 提示：（1）的联合分布为),(VU V U 12 1 9 4 0 2 9 4 9 1 （2）， 9 14 )(UE 9 10 )(VE 9 16 )(UVE 。 81 4 )()()(),(VEUEUVEVUCov 四、 （13 分）设二维随机变量的概率密度为),(YX 。 他他0 10 , 102 ),( yxyx yxf （1）求；（2）求的概率密度。2YXPYXZ 提示：（1） 1 0 2 0 )2(2 x dydxyxYXP 24 7 8
4、5 1 0 2 dxxx （2）)(zFZ 3 20 21)2( 3 1 1)2(1 10 3 1 )2( 00 1 1 1 3 0 32 0 z zzdydxyx zzzdydxyx z zxz zxz 他他0 21)2( 102 )()( 2 2 zz zzz zFzf ZZ 或者 duuzufzfZ),()( 他他0 21)2()2( 102)2( 2 1 1 2 0 zzduz zzzduz z z 五、 （13 分）设总体的概率密度为X 。 others x x xf 0 1 )1 (2 1 0 2 1 ),( 其中参数未知，是来自总体) 10( n XXX, 21 L 的简单随机样
5、本，是样本均值。 （1）求参数 的矩估计量XX ；（2）判断是否为的无偏估计量，并说明理由。 2 4X 2 提示：（1） dxxfxXE),()( ， 4 1 2)1 (22 1 0 dx x dx x 4 令：，则；XXE)( 2 1 2 X （2）， ， 6 1 6 1 3 1 )( 22 XE 48 5 12 1 12 1 )( 2 XD 那么 )()(4)(4)4( 222 XEXDXEXE )()( 1 4 2 XEXD n ，不是的 22 12 5 4 1 3 1 1 3 1 1 nn 2 4X 2 无偏估计量。 5 概率统计： 2006 年考题 一、填空题一、填空题 1.设随机变
6、量与相互独立，且均服从区间XY 上的均匀分布，则 。3,0 1),max(YXP 提示： 9/13/13/111 1, 11),max( YPXP YXPYXP 2.设总体的密度函数为 X x exf 2 1 )( ，为总体的简单随机样本，)(x n XXX, 21 LX 其样本方差为，则 。 2 S 2 ES 提示：2)( 2 XDES 二、单项选择题二、单项选择题 1设为两个随机事件，且，BA,0)(BP 则有（ ）1)|(BAP （A）（B）)()(APBAPU)()(APBAPU （C）（D）)()(APBAPU)()(BPBAPU 2.设随机变量服从正态分布，随机变量X),( 2 1
7、1 N 服从正态分布，且 Y),( 2 22 N1 1 XP ，则必有（ ）1 2 YP （A）（B） 21 21 （C）（D） 21 21 三、 （13 分）设随机变量的概率密度为X 6 ，令，为二维随 他他0 204/1 012/1 )(x x xfX 2 XY ),(yxF 机变量的分布函数。求：),(YX （）的概率密度；Y)(yFY （）；),(YXCov （）。4, 2 1 F 提示：； other y y yf y y Y 0 21 10 )( 8 3 8 3 3 2 23 )()()()()()(),(XEXEXEYEXEXYEYXCov 22, 2/14, 2/14, 2 1
8、 XXPYXPF 4/12/12XP 四、 （13 分）设总体的密度函数为X ，其中 是未知参数（） 。 他他0 211 10 );(x x xf 10 为来自总体的随机样本，记为样本值小 n XXX, 21 LXN 于 1 的个数。求： （） 的矩估计； （） 的最大似然估计； 提示：，所以，； 2 3 )(XEX 2 3 ， NnN L )1 ()1ln()(lnlnNnNL 7 ，。0 1 ln NnN d Ld n N 五、 （13 分）设二维随机变量的概率分布为),(YX XY1 01 1a00.2 00.1b0.2 100.1c 其中为常数，且的数学期望，cba,X2 . 0)(X
9、E ，记。求：5 . 00|0XYPYXZ （）的值；cba, （）的概率分布；Z （）ZXP 提示：； 1 . 0 3 . 0 4 . 0 ca ba cba 2 . 00YPZXP 8 2005 年硕士研究生入学考试试题 一、填空题一、填空题（每小题 4 分，共 12 分） 1.从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为, 再从X 中任取一个数，记为, 则= X, 2 , 1LY2YP 。 解: 222 12 12XYPXPXYPXPYP 424323XYPXPXYPXP 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 0( 4 1 2.设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 Y X 01 00.4
10、a 1b0.1 已知随机事件与相互独立，则 a= 0.4 , 0X1YX b= 0.1 . 解:由题设，知;又事件与5 . 0 ba0X 相互独立，于是有1YX ，101, 0YXPXPYXXP 即,由此可解得 .)(4 . 0(baaa1 . 0, 4 . 0ba 二、单项选择题二、单项选择题（每小题 4 分，共 12 分） 1.设二维随机变量的概率分布为),(YX Y X 01 9 00.4a 1b0.1 已知随机事件与相互独立，则 0X1YX （A）.a=0.2, b=0.3(B).a=0.4, b=0.1 (C).a=0.3, b=0.2(D).a=0.1, b=0.4 2.设为独立同
11、分布的随机变量列，且LL, 21n XXX 均服从参数为的指数分布，记为标准正态分) 1()(x 布函数，则 (A)(B). )(lim 1 xx n nX P n i i n )(lim 1 xx n nX P n i i n (C)(D) ).(lim 1 xx n nX P n i i n ).(lim 1 xx n X P n i i n 3.设一批零件的长度服从正态分布，其中),( 2 N 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 2 , ，样本标准差，则的置信度为 0.90)(20 cmx )( 1 cms 的置信区间是 ( ) (A) (B).16( 4 1 20),
12、16( 4 1 20( 05 . 0 05 . 0 tt).16( 4 1 20),16( 4 1 20( 1 . 01 . 0 tt (C) (D).15( 4 1 20),15( 4 1 20( 05 . 0 05 . 0 tt).15( 4 1 20),15( 4 1 20( 1 . 01 . 0 tt 解:由正态总体抽样分布的性质知， ) 1( nt n s x 10 故的置信度为 0.90 的置信区间是 )1( 1 ),1( 1 ( 22 nt n xnt n x ，即).15( 4 1 20),15( 4 1 20( 05 . 0 05 . 0 tt 三、三、 （13 分）分）设二维随机变量的概率密度为),(YX 他 他他 他0 20 , 101 ),( xyx yxf 求：（I）的边缘概率密度；（II）),(YX)(),(yfxf YX 的概率密度YXZ 2).(zfZ ( III ) 2 1 2 1 XYP 解: （I） 关于的边缘概率密度X 他 他他 他0 10 ),()( 2 0 xdy dyyxfxf x X 他 他他 他0 102xx 关于的边缘概率密度Y dxyxfyfY),()( 他 他他 他0 20 1 2 ydx y 他 他他 他0 20 2 1y y （II） 令，
