概率论与数理统计答案第四版第1章(浙大)

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1、1、写出下列随机试验的样本空间 S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有 10 件正品为之，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续查出了 2 件次品就停止检查，或检查了 4 件产品就停止检查，记录检查结果。（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。 (1)解：设该班学生数为 n，总成绩的可取值为 0,1,2,3，100n， (2)解：S=10、11、12 所以试验的样本空间为 S=i/n| i=1、2、3100n (3)解：设 1 为正品 0 为次品 S=00，100，1

4、和 0.9，从中各取一个，设各花籽是否发芽相互独立（1）这两颗花籽都能发芽的概率（2）至少有一颗能发芽的概率（3）恰有一颗能发芽的概率解：设事件 A 为 a 花籽发芽，事件 B 为 b 花籽发芽（1）P（AB）=P(A)P(B)=0.72（2）P（AB）=P(A)+P(B)-P(AB)=0.98（3）P(AB)= P（AB）- P（AB）=0.26 29、根据报道美国人血型的分布近似地胃：A 型为 37，O 型为 44，B 型为 13，AB 型为 6。夫妻拥有的血型是相互独立的。（1）B 型的人只有输入 B、O 两种血型才安全。若妻为 B 型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的

5、概率。（2）随机地取一对夫妇，求妻为 B 型夫为 A 型的概率。（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为 A 型，另一人为 B 型的概率。（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是 O 型的概率。解：设一个人的血型为 A,B,0，AB 分别为事件 A,B,O,AB. (1) 设夫是妻的安全输血者为事件 C,则 P（C）=P（B）+ P（O）=13%+44%=0.57(2) 设妻为 B 型夫为 A 型为事件 D,则 P（D）=P（B）P（A）=13%37%=0.0481（4）设随机地取一对夫妇，其中一人为 A 型，另一人为 B 型为事件 X，则事件 X 包括妻为 B 型夫为 A 型和妻为

6、A 型夫为 B 型,P（X）=P(A) P(B)+ P(A) P(B)=0.0962(4)法一：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是 O 型为事件 Y，一个人的血型不是O 为事件 ,则事件 Y 可表示为两人恰有一人为 O 型和两人都是 O 型，P(Y)=P(O) P()OO+P(O) P()+P(0) P(O)=0.6864O法二：设随机地取一对夫妇，其中至少有一人是 O 型为事件 Y，则事件 Y 的对立事件为两人都不是 O 型血（事件）,则 P(Y)=1-P()=1- P()P()=0.6864YYOO30、（1）给出事件 A、B 的例子，使得（i）P（A B）P（A），（ii）P（A

7、 B）=P（A）（iii）P（A B）P（A）（2）设事件 A、B、C 相互独立，证明：（i）C 与 AB 相互独立（ii）C 与 AB 相互独立。（3）设事件 A 的概率 P（A）=0，证明对于任意另一事件 B，有 A、B 相互独立。（4）证明事件 A、B 相互独立的充要条件是 P（A B）=P（A B）答：（1）（i）当事件 B 发生会是事件 A 发生的概率减小时，P（A B）P（A）比如 A 是骑自行车上学的学生，B 是男生，全集是所有学生（ii）当事件 B 发生对 A 没有影响，即 A、B 互为独立事件时，P（A B） =P（A）比如事件 A 是扔骰子得到一点，事件 B

8、是明天下雨。（iii）当事件 B 发生会是事件 A 发生的概率增加时，P（A B）P（A）比如事件 A 是课余时间我去健身，事件 B 是课余时间室友们健身，显然他们很有可能对我的决定产生影响。（2）（i）A、B、C 相互独立P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=P（AB）P（C）即 P（AB）C）=P（AB）P（C） C 与 AB 相互独立（ii）P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）P（AB）P（C）=P（A）P（C）+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P(AB)C)C 与 AB 相互独立（3）因 ABA,故若 P（A）=0，则0P（AB）P(A) 从而 P(AB)=0=P(

9、B)0=P(B)P(A) 按定义，A,B 相互独立。（4）必要性.设 A,B 相互独立，则 A, 也相互独立，从而只 P（A|B）=P(A), BP(A|)=P(A).故 P（A|B）= P(A|).BB充分性.设 P（A|B）= P(A|)，按定义此式即表示B( ()()()( )1( )( )P A BBP ABP ABP AP BP B=() ( )P AB P B() ( )P AB P B由比例的性质得=() ( )P AB P B( ()()()( )1( )( )P A BBP ABP ABP AP BP B31.设事件 A，B 的概率均大于零，说明以下叙述（1）必然对，（2）

10、必然错，（3）可能对。并说明理由。（1）若 A 与 B 互不相容，则它们相互独立。（2）若 A 与 B 相互独立，则它们互不相容。（3）P(A)=P(B)=0.6，且 A,B 互不相容。（4）P(A)=P(B)=0.6，且 A,B 相互独立。解：（1）、（2）必然错原因：若 A，B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0若 A，B 互不相容，则 AB=,即 P(AB)=0所以（1）、（2）必须错（3）必然错原因：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)1P(A)=P(B=0.6) 笔误即 P(AB)0.20则 A，B 不可能互不相容（4）可能对原因：当

11、 P（AB）=P(A)P(B)=0.36 时，A，B 相互独立，否则 A，B 不相互独立。32.有一种检验艾滋病毒的检验法，其结果有概率 0.005 报道为假阳性（即不带艾滋病毒者，经此法检验有 0.005 的概率被认为带艾滋病毒），今有 140 名不带艾滋病毒的正常人全都接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？解：设事件 A 表示被报道至少有一人带艾滋病毒P(A)=140 = 1140()=1-140(0)=1-0 140 (0.005)0 (0.995)140=0.504333、盒中有编号为 1,2,3,4 的 4 只球，随机地自盒中取一只球，事件 A 为“取得的是

12、1 号球或 2 号球” ，事件 B 为“取得的是 1 号或 3 号球” ，事件 C 为“取得的是 1 号或 4 号球” 验证：P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，但 P(ABC)P(A)P(B)P(C)，即事件 A，B，C 两两独立，但 A，B，C 不是相互独立的。解、由题意知，事件 AB，AC，BC，ABC 均为“取得的是 1 号球”则 P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=，且 P(A)=P(B)=P(C)=1 42 41 2所以 P(AB)=P(A)P(B)=，P(AC)=P(A)P(C)=，P(BC)=P(B)P(

13、C)=,1 41 41 4但 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=。1 41 8 故可证明事件 A，B，C 两两独立，但 A，B，C 不是相互独立的。34、试分别求以下两个系统的可靠性：（1）设有四个独立工作的元件 1，2，3，4，它们的可靠性分别为 p1,p2,p3,p4,将它们按题 34 图（1）的方式连接（称为并串联系统）（2）设有 5 个独立工作的元件 1,2,3,4,5，它们的可靠性均为 p,将它们按题 34 图（2）的方式连接（称为桥式系统）。1234图（1）12345图（2）解：（1）设系统工作为事件 B，元件 1,2,3,4 工作分别为事件 A1，A2，A3，A4，

14、则P（B）=P（A1）P（A2A3A4）=P1P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4)=p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4(2)设系统工作为事件 B,元件 1,2,3,4,5 工作分别为事件 A1，A2，A3，A4，A5 则法一 P(B)=P3P(A1A4)P(A2A5)+(1-P3)P(A1A2A4A5)=p（p+p-p*p）(p+p-p*p)+(1-p)(P*P+p*p-p*p*p*p)=5432p2p5p2p2法二 P(B)=P(A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2)=p(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A1A3A5)-P(

15、A1A2A4A5)-P(A1A2A4A3A2)-P(A1A3A5A4A5)-P(A1A3A5A4A3A2)-P(A4A5A4A3A2)+P(A1A2A1A3A5A4A5)+P(A1A2A1A3A5A4A3A2)+P(A1A2A4A5A4A3A2)+P(A1A3A5A4A5A4A3A2)-P(A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2)=54322p5p2p2p35、如果一危险情况 C 发生时，一电路闭合并发出警报，我么可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性. 在 C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出. 如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有 0.96 的可靠性（即在情况 C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性为 0.9999 的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的. 解：法一设表示事件“第 i

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概率论与数理统计答案 第四版 第1章(浙大)

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