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1、试卷第 1 页，总 3 页ABCDPQ向量法求空间角向量法求空间角1 （本小题满分 10 分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，DPAD ，CD平面ADPQ，DPAQAB21（1）求证：PQ平面DCQ；（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小2 （满分 13 分）如图所示，正四棱锥 PABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱 PA与底面 ABCD 所成的角的正切值为26DBACOEP（1）求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小； （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值； （3）问在棱 AD 上
2、是否存在一点 F，使 EF侧面 PBC，若存在，试确定点 F 的位置； 若不存在，说明理由试卷第 2 页，总 3 页3 （本小题只理科做，满分 14 分）如图,已知平面,是AB ACDDE/ABACD 正三角形,且是的中点.AD=DE=2ABFCD（1）求证:平面;AF/BCE （2）求证:平面平面;BCE CDE （3）求平面与平面所成锐二面角的大小.BCEACD4 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥ABCDP 中,PD底面ABCD,且底面ABCD为正方形,GFEPDAD, 2分别为CBPDPC,的中点（1）求证:/AP平面EFG; （2）求平面和平面的夹角.GEFDEF试卷第 3 页，
3、总 3 页HPGF EDCBA5如图，在直三棱柱中，平面 侧面且111ABCABC1ABC11A ABB.12AAAB（）求证：； ABBC（）若直线 AC 与平面所成的角为,求锐二面角1ABC6的大小.1AACB6如图，四边形ABCD是正方形，EA 平面ABCD，EAAPD，2ADPDEA，F，G， H分别为PB，EB，PC的中点（1）求证：FGA平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.答案第 1 页，总 12 页参考答案参考答案1 （1）详见解析；（2）4【解析】 试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以
4、D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系表示出图中各点的坐标：设aAB ，则)0,0,0(D，),0,0(aC，)0,(aaQ，)0,2,0(aP，则可表示出),0,0(aDC ，)0,(aaDQ ，)0,(aaPQ，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由0PQDC，0PQDQ，故PQDC ，PQDQ ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为) 1,0,0(1n；设平面BCQ的一个法向量为),(2zyxn ，则02QBn，02QCn，故 ,0,0azayaxazay即 ,0,0 zyxzy取1
5、 zy，则0x，故) 1,1,0(2n ，转化为两个法向量的夹角，设1n与2n的夹角为，则22 21 |cos2121nnnn 即可求出平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小.试题解析：（1）由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 设aAB ，则)0,0,0(D，),0,0(aC，)0,(aaQ，)0,2,0(aP，故),0,0(aDC ，)0,(aaDQ ，)0,(aaPQ，因为0PQDC，0PQDQ，故PQDC ，PQDQ ，即PQDC ，PQDQ ， 又 DCDQD所以，PQ平面DCQ （2）因为DC平面AD
6、PQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为) 1,0,0(1n， 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 12 页点B的坐标为),0,(aa，则),0(aaQB，),(aaaQC， 设平面BCQ的一个法向量为),(2zyxn ，则02QBn，02QCn，故 ,0,0azayaxazay即 ,0,0 zyxzy取1 zy，则0x，故) 1,1,0(2n设1n与2n的夹角为，则22 21 |cos2121nnnn 所以，平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小为4考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系2 （1）; （2）;
7、 （3）F 是 AD 的 4 等分点，靠近 A 点的位置.605102【解析】 试题分析：（1）取 AD 中点 M，连接 MO，PM，由正四棱锥的性质知PMO 为所求二面角PADO 的平面角，PAO 为侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角tanPAO，设 ABa，26则 AOa，POa，MO=1 2a , tanPMO,PMO60; （2）依题意连结22 23 3AE，OE，则 OEPD ，故OEA 为异面直线 PD 与 AE 所成的角，由正四棱锥的性质易证OA平面 POB,故AOE为直角三角形，OEPDa 21 21 22DOPO 45tanAEO；（3）延长 MO 交 BC 于 N，取
8、PN 中点 G，连 BG，EG，MG，易得EOAO 5102BC平面 PMN，故平面 PMN平面 PBC，而PMN 为正三角形，易证 MG平面 PBC，取 MA 的 中点 F,连 EF,则四边形 MFEG 为平行四边形，从而 MG/FE,EF平面 PBC, F 是 AD 的 4 等分 点，靠近 A 点的位置.答案第 3 页，总 12 页MDBACOEP试题解析：（1）取 AD 中点 M，连接 MO，PM，依条件可知 ADMO，ADPO，则PMO 为所 求二面角 PADO 的平面角 （2 分） PO面 ABCD， PAO 为侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角tanPAO26设 ABa，AOa
9、，22 POAOtanPOAa，23tanPMOMOPO 3PMO60 （4 分）MDBACOEP（2）连接 AE，OE， OEPD， OEA 为异面直线 PD 与 AE 所成的角 （6 分） AOBD，AOPO，AO平面 PBD 又 OE平面 PBD， AOOEOEPDa，21 2122DOPO 45tanAEO （8 分）EOAO 5102本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 12 页（3）延长 MO 交 BC 于 N，取 PN 中点 G，连 BG，EG，MGMDBACO EPNGF BCMN，BCPN，BC平面 PMN 平面 PMN平面 PB
10、C （10 分） 又 PMPN，PMN60，PMN 为正三角形 MGPN又平面 PMN 平面 PBCPN，MG平面 PBC （12 分）F 是 AD 的 4 等分点，靠近 A 点的位置 （13 分） 考点：立体几何的综合问题3 （1）见解析；（2）见解析；（3）.45 【解析】 试题分析：（1）取 CE 中点 P，连接 FP、BP，根据中位线定理可知 FP|DE，且且 FP=，而 AB|DE，且 AB=则 ABPF 为平行四边形，则 AF|BP，AF平面 BCE，BP.21DE.21DE平面 BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论； （2）根据 AB平面 ACD，DE|AB，则 DE平面
11、 ACD，又 AF平面 ACD，根据线面垂直的性质可知，满足线面垂直的判定定理，证得 AFDEAFAFCDCDDED又，平面 CDE，又 BP|AF，则 BP平面 CDE，BP平面 BCE，根据面面垂直的判定定理可证 得结论； （3）由（2） ，以 F 为坐标原点，FA，FD，FP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角 坐标系 Fxyz设 AC=2，根据线面垂直求出平面 BCE 的法向量 n，而 m=（0，0，1）为平面 ACD 的法向量，设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 ，根据可求|cos| |m n mn出所求试题解析：（1）解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP,
12、 答案第 5 页，总 12 页F 为 CD 的中点,FP|DE,且 FP= .21DE又 AB|DE,且 AB=AB|FP,且 AB=FP, .21DEABPF 为平行四边形,AF|BP 又平面 BCE,BP平面 BCE, AF AF|平面 BCE （2）ACD 为正三角形,. AFCDAB平面 ACD,DE|AB, DE平面 ACD,又 AF平面 ACD, DEAF.又 AFCD,CDDE=D, AF平面 CDE 又 BP|AF,BP平面 CDE.又BP平面 BCE, 平面 BCE平面 CDE （3）法一、由（2）,以 F 为坐标原点, FA,FD,FP 所在的直线分别为 x,y,z 轴（如
13、图）, 建立空间直角坐标系 Fxyz.设 AC=2, 则 C（0,1,0）, ).2 , 1 , 0( ,),1 , 0 , 3(EB 设为平面 BCE 的法向量， ( , , )nx y z，令 n=1,则 300,0,220xyzn CBn CEyz (0, 1,1)n 显然,为平面 ACD 的法向量. ) 1 , 0 , 0(m设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为 ,则. |12cos.| |22m n mn45即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45 法二、延长 EB、DA,设 EB、DA 交于一点 O,连结 CO. 则面面. EBC DACCO由 AB 是的中位线,
14、则. EDOADDO2在中, . OCD22ODADAC060ODC本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 12 页,又. CDOC DEOC 面而 CE面 ECD,OC,ECD为所求二面角的平面角ECDCEOC,在中， Rt EDCEDCD，045ECD即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为. 45考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判 定 4证明见解析 【解析】 试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标， 从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线 线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化 为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核 心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是 正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完 备.试题解析：（1）如图，以D为原点,以,DA DC DP
