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1、1类比是一个伟大的引路人1 提出问题类比是合情推理的一种模式，它是根据两个不同对象在某方面相似之处，推测出这两 个对象在其它方面也可能存在相似之处，它是从特殊到特殊的推理方法类比推理可以启 迪思维、促进联想、开阔视野、拓展认识正如波利亚感叹：“类比是一个伟大的引路 人 ”我们知道在平面解析几何中，若直线与圆0cbyax有公共点，则，当且仅当直线与圆相切时等22 02 0)()(ryyxxr bacbyax 2200号成立事实上，由类比推理，我们完全可以把上述关系推广到空间解析几何中（尽管高中阶段还没有学习空间解析几何！） ，若平面与球0fczbyax（、不全为 0，以下同）有公共点，则22 0
2、2 02 0)()()(rzzyyxxabc（） ，当且仅当平面与球相切时等号成立虽说平面与球属于r cbafczbyax 222000几何范畴，然而利用上述性质可以轻松地解决一些代数问题，本文略举数例，再一次展示 数形结合、转化化归思想的无穷魅力，凸显类比推理引领作用2 案例剖析题 1：判断方程组 ， 在实数范围内解的组1432zyx14222zyx数 剖析：本题为厦门第一中学 2013 年科技节试题，作为三元二次方程组，如果直接求解 运算量较大，如果我们把看作平面，那么就是球，运用上述性质（）容易得到=d 22232114302010r14故该平面与球相切，因此方程组在实数范围内解只有一组
3、解，从几何的视角，这组解 就是平面与球的切点如果需要求出这组解，那该如何操作呢？请看：题 2：设、，且 ， ，求xyzR1222zyx1432zyx值zyx剖析：本题为 2013 年湖北省高考理科试题第 13 题，显然应该属于新课标下的柯西不 等式范畴，当然可以利用柯西不等式等号成立的条件加以解决.然而，当我们将看作球， 那就是平面，运用上述性质（）容易得到rd 1 321143020103212故该平面与球相切，那如何求切点坐标呢？为了解决这一问题，我们从一般情况来研究，设平面方程为： ；球的方程为 eczbyax2222rzyx当球与平面相切时，由（）可得r cbaed 222)(2222
4、2cbaRe将上述平方并结合、得到2)(czbyax)(222222cbazyx将展开并整理可得cxazbzcyaybx222)()()(222222222222zaxcyczbxbya0)()()(222azcxcybzbxay， 0bxay0cybz0 azcx将与结合即可求解. 上述表示球心在原点特殊情况，那一般情况呢？即球方程 为2222)()()(Rpznymx那我们只要将上述等价变形为cpbnamdpzcnybmxa)()()(令，则、就相应转化为上述、，至此有mxXnyYpzZ关平面与球相切的切点问题彻底解决，当然就不难求出本题，.141x142x143x7143zyx3 转化化
5、归有些问题看似与平面、球毫无关系，当我们适当变形就转化为平面与球相关问题，请 看：题 3 非负数、，求最大xyz10222zyx222666zyxu值 剖析：本题为 2013 年全国高中数学联赛卷加试第 3 题，设B，（，）.26xa26yb26zc0a0b0c代入上述已知及求解式子可得（） ， 8222cba0uucba此时将看作球，那就是平面，由于将、看作点的坐标，那就abc)(cba，3说明平面与球有公共点，即平面与球相切或相交，运用上述性质（）容易得到rud 22 11122262u多么赏心悦目，让人心旷神怡！题 4：若，且，求证：abRc1cba3cba剖析： 令，设（） ，则有ax
6、 by cz tcba0t， 22221zyx0tzyx此时将看作球，那就是平面，由于将、看作点的坐标，那就abc)(cba，说明平面与球有公共点，即平面与球相切或相交，运用上述性质（）容易得到rttd 131112223t4 类比拓展既然我们可以把二维的直线与圆类比到三维的平面与球，当然就可以乘胜追击，类比到（，）维，即有n2nNn（）不全为 0） ，exaxaxaxann322211iani， 21 222 332 222 11)()()()(rbxbxbxbxnn我们不妨将上述、称作“类平面” 、 “类球面” ，类比上述性质（）可得到“类平 面”与“类球面”有公共点时的结论：（） （当且
7、仅当相切时等号成立） r aaaaebabababadnnn 22 32 22 1332211题 5：若 ； ，试求的最大8edcba1622222edcbae值 剖析：本题为第 24 届美国中学生数学奥林匹克竞赛试题，解法很多，如构造二次函数 法、凑配法等等若利用上述结论（）得到妙解将上述、适当变形为， edcba82222216edcba将上述看作“类平面” ，那看作“类球面” ，由于点既在“类平面”)(dcba，又在“类球面”上，故有公共点，依据上述结论（）得到2222216 1111)8(10101010ee 516e有趣的是，利用上述结论（）容易将本题推广到一般情形，即4结论 1：设
8、，且，1a2aRan021saaan，则的最大值为，当且仅当12 22 22 1nsaaannans2（）时等号成立1)2(121nsnaaan2n上述数例都是在出现平面、球或者“类平面” 、 “类球面”方程的前提下，倘若没有方 程，那我们可以适当构造平面、球或者“类平面” 、 “类球面”方程，运用上述性质（） 、 （） ，往往得到美妙绝伦的解答，请看： 题 6：近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成厨余垃圾、可回收物 及其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随 机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨
9、余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误的概率； （）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为、，其中，当数据、的方差最大时，写出、abc0a 600abcabc2sa、的值（结论不要求证明） ，并求此时的值bc2s剖析：本题为 2012 年北京高考文科第 17 题，这是一道全面考察学生收集、整体数据， 进而分析、处理数据并进行计算、推理能力的好题 （） 、 （）略，对于（） ，高考命 题专家提供的标准答案是：当时，方差取得最大值，
10、又，故有6000abc，2s2003abcx222 2(600200)(0200)(0200)800003s对于上述这样的解答，不要说学生根本不知道来龙去脉，笔者斗胆猜测不少教师恐怕 也是云里雾里事实上，由方差定义与性质容易知道数据越稳定、波动越小，其方差就最小对于（）来说，显然当时方差最小为 0，也许这就是为何命题专家200cba 在命制试题时没有求方差的最小值而是求最大值的原因吧那该如何求最大值呢？我们不 妨设222)200()200()200(cbay120000)(400222cbacba120000222cba120000)(2)(2cabcabcba)(2240000cabcab要
11、使得取得最大值，只需 y0cabcab 由已知，则，0a0b0c0ab0bc0ca5结合、并注意及可得0a600abc 000cabcab 00600cbamaxy240000800003240000 max2s这也许就是命题专家直接给出上述答案的原因吧！ 由上述得，即最大值取决于的最大值，120000222cbayy222cba联想到，那么代数式与方程给我们什么信号600abc222cba600abc呢？事实上，表示的几何意义是一个平面，令，其几何600abc2222rcba意义表示球注意到，因此表示的平面区域就是由0a0b0c600abc、所构成的三角形区域（包括边界） 画图直接看出)00
12、600(，A)06000(，B)60000(，C该球过时距离最大且为（其实过、也取得同样的最大值！） ，只)00600(，A360000BC不过命题专家为了减轻考生负担，不想出现多种情况，因此才特别设置条件“，0a ，”就是出于这个目的罢了0b0c 顺便指出，倘若本题是求方差最小值，在这种几何观点下，就是球与平面相切的情况，即当时方差最小为 0 当然我们可以将本题（）中所涉及的问题推广200cba 为：结论 2：若，且（ 为01a02a03a0nataaaan321t常数） ，则代数式在，22221 ntantantanta 1时取得最大值；在时取得最小值032naaantaaan21题 7：
13、若字母均为正数，且，证明：+23fedcbada eb fc 3剖析：构造球，显然及均在3222zyx) 1 , 1 , 1 (A),(fcebdaB球上，易得=， 利用维空间两点、间距离公式得到rAB232nAB+ 12111222fcebdada eb fc 3 从上述推理过程不难将本题（2011 年日本数学奥林匹克竞赛试题）推广为：结论 3：若，若=，则有iaRbi niia1 niib12n niiba11n6证明：利用构造法，构造维“类球面”：，显然nnxxxn22 22 1及均在“类球面”上，易得) 111 (，A)(2211nnbababaB，=，利用维空间两点、间距离公式得到R
14、AB2n2nAB 2AB niiiba121n4niiba11n5 肤浅感悟上述题 2 的推理过程同时说明凡是用柯西不等式处理的问题，只要在等号成立的情况， 都可以转化为平面、球面或者“类平面” 、 “类球面” ；上述题 6 的剖析过程表明有关方差、 标准差的问题亦可构造平面、球面或者“类平面” 、 “类球面”并借助上述性质（） 、 （）来完美解决构造平面、球面或者“类平面” 、 “类球面”并借助上述性质（） 、 （）较容易将一些问题进行推广、拓展、引申，更易看清问题的本质新课改后的数学 教育教学尤其强调培养学生的能力与优化思维品质，高考中越来越重视类比能力的考查， 也许本文的素材有一天成为高观点试题的最佳切入口
